Calcule a integral de linha
onde
e
é o triangulo com vértices
e
, orientado no sentido horário. S: -1/2.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
. A curva
é um triângulo com vértices nos pontos
,
e
, orientado no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície. Precisamos conhecer cálculo vetorial, especialmente o teorema de Stokes e como calcular o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Stokes, que diz:
Onde:
-
é a curva fechada; -
é a superfície limitada por ; -
é o rotacional de ; -
é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Substituindo
,
, e
:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a superfície
e o vetor normal
. Como
é um triângulo no espaço, podemos considerar a superfície
como esse próprio triângulo. Vamos encontrar uma parametrização para
.
Os vértices são
,
e
. Podemos expressar qualquer ponto na superfície
como uma combinação linear desses vértices:
Onde
e
.
Passo 5
Vamos encontrar o vetor normal
. Primeiro, calculamos os vetores tangentes à superfície:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando cada produto vetorial:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Agora, precisamos integrar
sobre a superfície
. Usando a parametrização que fizemos:
Substituindo na expressão:
A integral se torna:
Calculamos a magnitude de
:
Então:
Os limites de integração são
,
, e
.
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em
:
Agora, integramos em
:
Resposta
A integral de linha
vale
.