Calcule a integral de linha ointC F d r onde F(x ; y ; z)=x y i+y z j+z x k ; e C é o triangulo com vértices (1 ; 0 ; 0),(0 ; 1 ; 0) e (0 ; 0 ; 1), orientado no sentido horário. S: -1/2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . A curva é um triângulo com vértices nos pontos , e , orientado no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície. Precisamos conhecer cálculo vetorial, especialmente o teorema de Stokes e como calcular o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Stokes, que diz:
ointC F cdot d r = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS
Onde:
  • é a curva fechada;
  • é a superfície limitada por ;
  • é o rotacional de ;
  • é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k . A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial (zx)partial y - partial (yz)partial z ) i + ( partial (xy)partial z - partial (zx)partial x ) j + ( partial (yz)partial x - partial (xy)partial y ) k
Substituindo nabla times F = (0 - y) i + (0 - z) j + (0 - x) k = -y,i - z,j - x,k , , e :
Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a superfície r(u, v) = u,i + v,j + (1 - u - v),k e o vetor normal . Como é um triângulo no espaço, podemos considerar a superfície como esse próprio triângulo. Vamos encontrar uma parametrização para .
Os vértices são , e . Podemos expressar qualquer ponto na superfície como uma combinação linear desses vértices:
Onde e .

Passo 5

Vamos encontrar o vetor normal partial rpartial u = i - k . Primeiro, calculamos os vetores tangentes à superfície:
partial rpartial v = j - k
n = partial rpartial u times partial rpartial v = (i - k) times (j - k) = i times j - i times k - k times j + k times k
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
i times j = k, i times k = -j, k times j = i, k times k = 0
Calculando cada produto vetorial:
n = k + j - i + 0 = -i + j + k
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular nabla times F = -y,i - z,j - x,k :
n = -i + j + k
(nabla times F) cdot n = (-y)(-1) + (-z)(1) + (-x)(1) = y - z - x

Passo 7

Agora, precisamos integrar x = u, y = v, z = 1 - u - v sobre a superfície y - z - x = v - (1 - u - v) - u = v - 1 + u + v - u = 2v - 1 . Usando a parametrização que fizemos:
integral duplaS (2v - 1) |n|, dA
Substituindo na expressão:
|n| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
A integral se torna:
integral duplaS (2v - 1) raiz3, du, dv
Calculamos a magnitude de :
Então:
Os limites de integração são , , e .

Passo 8

Vamos calcular a integral:
integral duplaS (2v - 1) raiz3, du, dv = raiz3 integral0^1 integral0^1 - u (2v - 1), dv, du
Primeiro, integramos em integral0^1 - u (2v - 1), dv = [ v^2 - v ]0^1 - u = ( (1 - u)^2 - (1 - u) ) - (0 - 0) = (1 - 2u + u^2) - (1 - u) = -u + u^2 :
raiz3 integral0^1 (-u + u^2), du = raiz3 [ -u^22 + u^33 ]0^1 = raiz3 ( -12 + 13 ) = raiz3 ( -16 ) = -raiz36
Agora, integramos em :

Resposta

A integral de linha vale .

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