Exercício 6. Para cada item abaixo, faça o que se pede utilizando coordenadas esféricas:
Calcule integral triplaE y d V, onde E é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 9, z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaE y,dV, onde E é o hemisfério sólido definido por x^2+y^2+z^2<=9 e z>=0. Vamos usar coordenadas esféricas para resolver uma integral tripla.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
e o elemento de volume é dado pelo Jacobiano dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 3

Substituindo y e dV na integral e estabelecendo os limites:
0<=rho<=3, 0<=phi<=tfracpi2, 0<=theta<=2pi
obtemos
integral triplaEy,dV=integral0^2piintegral0^pi/2integral0^3(rhosinphisintheta),(rho^2sinphi),drho,dphi,dtheta

Passo 4

A integral se separa em três partes:
integral0^3rho^3drho;times;integral0^pi/2sin^2phi,dphi;times;integral0^2pisintheta,dtheta
Mas
integral0^2pisintheta,dtheta=0,
logo toda a integral fica zero.

Passo 5

Como a parte em theta anula a integral, concluímos que o valor de integral triplaEy,dV é zero.

Resposta

0

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