Uma função
satisfaz as condições indicadas. Esboce um gráfico de
, supondo que ele não corte uma assíntota horizontal.
;
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função f de domínio ℝ{2} que satisfaz:
– e
, logo há uma assíntota horizontal y=−1 que não é cruzada pela curva.
– e
, logo há uma assíntota vertical x=2 com ramos que vão para +∞ pela esquerda e para -∞ pela direita.
–
–
Passo 2
Temos a assíntota vertical em x=2. No ramo à esquerda (x<2), f(x) cresce sem limite ao se aproximar de 2, indo a +∞, enquanto para x→−∞ f(x)→−1. Para não cruzar y=−1, nesse ramo f(x)>−1 para todo x<2.
Passo 3
Temos a assíntota horizontal y=−1. No ramo à direita (x>2), f(x) sai de −∞ ao passar de 2 e, conforme x→+∞, f(x)→−1. Para não cruzar y=−1, nesse ramo f(x)<−1 para todo x>2.
Passo 4
Juntando tudo, esboçamos duas curvas e duas linhas tracejadas (as assíntotas):
• Para x<2: uma curva acima de y=−1 que se aproxima de y=−1 para x→−∞ e sobe até +∞ quando x→2−.
• Para x>2: uma curva abaixo de y=−1 que parte de −∞ em x→2+ e sobe até se aproximar de y=−1 para x→+∞.
• Para x<2: uma curva acima de y=−1 que se aproxima de y=−1 para x→−∞ e sobe até +∞ quando x→2−.
• Para x>2: uma curva abaixo de y=−1 que parte de −∞ em x→2+ e sobe até se aproximar de y=−1 para x→+∞.
Resposta
Esboço do gráfico:
– Tracejar a reta vertical x=2 e a reta horizontal y=−1.
– No intervalo (−∞,2), desenhar uma curva sempre acima de y=−1, aproximando-se de y=−1 em x→−∞ e indo a +∞ em x→2−.
– No intervalo (2,+∞), desenhar uma curva sempre abaixo de y=−1, partindo de −∞ em x→2+ e aproximando-se de y=−1 em x→+∞.
– No intervalo (−∞,2), desenhar uma curva sempre acima de y=−1, aproximando-se de y=−1 em x→−∞ e indo a +∞ em x→2−.
– No intervalo (2,+∞), desenhar uma curva sempre abaixo de y=−1, partindo de −∞ em x→2+ e aproximando-se de y=−1 em x→+∞.