Uma função f satisfaz as condições indicadas. Esboce um gráfico de f, supondo que ele não corte uma assíntota horizontal.
lim x -infty f(x)=-1 ; lim x +infty f(x)=-1;
lim x 2^- f(x)=+infty ; lim x 2^+ f(x)=-infty

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f de domínio ℝ{2} que satisfaz:
limxto -inftyf(x)=-1 e limxto +inftyf(x)=-1, logo há uma assíntota horizontal y=−1 que não é cruzada pela curva.
limxto2^-f(x)=+infty e limxto2^+f(x)=-infty, logo há uma assíntota vertical x=2 com ramos que vão para +∞ pela esquerda e para -∞ pela direita.

Passo 2

Temos a assíntota vertical em x=2. No ramo à esquerda (x<2), f(x) cresce sem limite ao se aproximar de 2, indo a +∞, enquanto para x→−∞ f(x)→−1. Para não cruzar y=−1, nesse ramo f(x)>−1 para todo x<2.

Passo 3

Temos a assíntota horizontal y=−1. No ramo à direita (x>2), f(x) sai de −∞ ao passar de 2 e, conforme x→+∞, f(x)→−1. Para não cruzar y=−1, nesse ramo f(x)<−1 para todo x>2.

Passo 4

Juntando tudo, esboçamos duas curvas e duas linhas tracejadas (as assíntotas):
• Para x<2: uma curva acima de y=−1 que se aproxima de y=−1 para x→−∞ e sobe até +∞ quando x→2−.
• Para x>2: uma curva abaixo de y=−1 que parte de −∞ em x→2+ e sobe até se aproximar de y=−1 para x→+∞.

Resposta

Esboço do gráfico:
– Tracejar a reta vertical x=2 e a reta horizontal y=−1.
– No intervalo (−∞,2), desenhar uma curva sempre acima de y=−1, aproximando-se de y=−1 em x→−∞ e indo a +∞ em x→2−.
– No intervalo (2,+∞), desenhar uma curva sempre abaixo de y=−1, partindo de −∞ em x→2+ e aproximando-se de y=−1 em x→+∞.

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