Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(b) an=(1+1n)^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência an = l(1 + tfrac1nr)^n, tema: limites de sequências envolvendo potências e logaritmos. Vamos usar a transformação via logaritmo para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Definimos bn = ln(an) = nlnl(1 + tfrac1nr). Note que podemos reescrever
bn = nlnl(1 + tfrac1nr) = ln(1 + tfrac1n)tfrac1n

Passo 3

Sabemos do cálculo de limites que
limxto 0 ln(1 + x)x = 1

Passo 4

Aqui fazemos x = tfrac1n, que tende a 0 quando ntoinfty. Logo
limntoinfty bn = 1

Passo 5

Como an = e^bn e a função exponencial é contínua, temos
limntoinfty an = e^lim bn = e^1 = e

Resposta

A sequência converge e seu limite é e.

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