Resolva a equação diferencial
sob as condições
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa. Vamos juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos a parte direita a zero:
Para resolver isso, vamos encontrar a equação característica. Suponha que a solução seja da forma
, onde
é um número que vamos determinar. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir todos os termos por
(que nunca é zero):
Agora, resolva essa equação quadrática para
:
Então, as raízes são:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (
), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio do mesmo grau:
Vamos derivar:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução geral da homogênea (
) e da solução particular (
):
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Passo 5
Primeiro, aplicamos a condição inicial
:
Isso nos dá a equação:
Agora, vamos derivar a solução geral para encontrar
:
Aplicando a condição inicial
:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema de equações para
e
:
Equação 1:
Equação 2:
Vamos somar as duas equações:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
na Equação 1 para encontrar
:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é: