Resolva a equação diferencial
2 y^prime prime+y^prime-y=x+1
sob as condições y(0)=1 e y^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial 2 y'' + y' - y = x + 1 com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa. Vamos juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos a parte direita a zero:
2 y'' + y' - y = 0
Para resolver isso, vamos encontrar a equação característica. Suponha que a solução seja da forma y = e^r x, onde r é um número que vamos determinar. Derivando, temos:
y' = r e^r x e y'' = r^2 e^r x
Substituindo na equação homogênea:
2 r^2 e^r x + r e^r x - e^r x = 0
Podemos dividir todos os termos por e^r x (que nunca é zero):
2 r^2 + r - 1 = 0
Agora, resolva essa equação quadrática para r:
2 r^2 + r - 1 = 0 Rightarrow r = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34
Então, as raízes são:
r1 = 24 = 12 e r2 = -44 = -1
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yc = C1 e^12x + C2 e^-x
onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) da equação completa 2 y'' + y' - y = x + 1. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau ( x + 1), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio do mesmo grau:
yp = A x + B
Vamos derivar:
yp' = A e yp'' = 0
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação original:
2(0) + A - (A x + B) = x + 1
Simplificando:
-A x + (A - B) = x + 1
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
-A = 1 Rightarrow A = -1
A - B = 1 Rightarrow -1 - B = 1 Rightarrow B = -2
Portanto, a solução particular é:
yp = -x - 2

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução geral da homogênea ( yc) e da solução particular ( yp):
y = yc + yp = C1 e^12x + C2 e^-x - x - 2
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes C1 e C2.

Passo 5

Primeiro, aplicamos a condição inicial y(0) = 1:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 - 0 - 2 = C1 + C2 - 2 = 1
Isso nos dá a equação:
C1 + C2 = 3 (Equação 1) çã
Agora, vamos derivar a solução geral para encontrar y':
y' = 12 C1 e^12x - C2 e^-x - 1
Aplicando a condição inicial y'(0) = 0:
y'(0) = 12 C1 e^0 - C2 e^0 - 1 = 12 C1 - C2 - 1 = 0
Isso nos dá a segunda equação:
12 C1 - C2 = 1 (Equação 2) çã

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações para C1 e C2:
Equação 1: C1 + C2 = 3
Equação 2: 12 C1 - C2 = 1
Vamos somar as duas equações:
C1 + C2 + 12 C1 - C2 = 3 + 1 Rightarrow 32 C1 = 4
Resolvendo para C1:
C1 = 432 = 83
Agora, substituímos C1 na Equação 1 para encontrar C2:
83 + C2 = 3 Rightarrow C2 = 3 - 83 = 13

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:
y = 83 e^12x + 13 e^-x - x - 2

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