Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
  • a_{n}=1-(0,2)^{n}
  • a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}
  • a_{n}=\frac{3+5 n^{2}}{n+n^{2}}
  • a_{n}=\frac{n^{3}}{n+1}
  • a_{n}=e^{1 / n}
  • a_{n}=\frac{3^{n+2}}{5^{n}}
  • a_{n}=\sqrt{\frac{n+1}{9 n+1}}
  • a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+4 n}}
  • a_{n}=e^{2 n /(n+2)}
  • a_{n}=\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}
  • a_{n}=\frac{(-1)^{n} n^{3}}{n^{3}+2 n^{2}+1}
  • a_{n}=\cos (n / 2)
  • a_{n}=\cos (2 / n)
  • a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}
  • a_{n}=\frac{\ln n}{\ln 2 n}
  • a_{n}=\frac{e^{n}+e^{-n}}{e^{2 n}-1}
  • a_{n}=\left\{n e^{-n}\right\} - \(a_{n}=\ln (n+1)-\ln n
    - a_{n}=\frac{\cos ^{2} n}{2^{n}}
    - a_{n}=\sqrt[n]{2^{1+3 n}}
    - a_{n}=n \operatorname{sen}(1 / n)
    - a_{n}=2^{-n} \cos (n \pi)
    - a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}
    - a_{n}=\frac{\operatorname{sen} 2 n}{1+\sqrt{n}}
    - a_{n}=\ln \left(2 n^{2}+1\right)-\ln \left(n^{2}+1\right)
    - a_{n}=\frac{(\ln n)^{2}}{n}
    - a_{n}=n-\sqrt{n+1} \sqrt{n+3}
    - a_{n}=\{0,1,0,0,1,0,0,0,1, \ldots\}
    - a_{n}=\left\{1, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \ldots\right\}
    - a_{n}=\frac{n!}{2^{n}}
    - a_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n!})

Passo 1

O que o enunciado pede: para cada uma das sequências dadas eu preciso dizer se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite numérico.
Listei todas as sequências que você deu (na mesma ordem):
a_{n}=1-(0,2)^{n}
a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}
a_{n}=\frac{3+5 n^{2}}{n+n^{2}}
a_{n}=\frac{n^{3}}{n+1}
a_{n}=e^{1 / n}
a_{n}=\frac{3^{n+2}}{5^{n}}
a_{n}=\sqrt{\frac{n+1}{9 n+1}}
a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+4 n}}
a_{n}=e^{2 n /(n+2)}
a_{n}=\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}
a_{n}=\frac{(-1)^{n} n^{3}}{n^{3}+2 n^{2}+1}
a_{n}=\cos (n / 2)
a_{n}=\cos (2 / n)
a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}
a_{n}=\frac{\ln n}{\ln 2 n}
a_{n}=\frac{e^{n}+e^{-n}}{e^{2 n}-1}
a_{n}=\left\{n e^{-n}\right\} (interpreto \{\cdot\} como a parte fracionária de n e^{-n})
a_{n}=\ln (n+1)-\ln n
a_{n}=\frac{\cos ^{2} n}{2^{n}}
a_{n}=\sqrt[n]{2^{1+3 n}}
a_{n}=n \sin(1 / n)
a_{n}=2^{-n} \cos (n \pi)
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}
a_{n}=\frac{\sin 2 n}{1+\sqrt{n}}
a_{n}=\ln \left(2 n^{2}+1\right)-\ln \left(n^{2}+1\right)
a_{n}=\frac{(\ln n)^{2}}{n}
a_{n}=n-\sqrt{n+1} \sqrt{n+3}
a_{n}=\{0,1,0,0,1,0,0,0,1,\ldots\} (sequência explícita com padrão de 0s e 1s)
a_{n}=\left\{1, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6},\ldots\right\}
a_{n}=\frac{n!}{2^{n}}
a_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n!}
A partir daqui eu vou resolver cada sequência passo a passo, explicando as propriedades usadas (por exemplo comparação de ordens de grandeza, fatoração, limite exp/log, regra de equivalência para pequenas quantidades, teste de subsequências para divergência, etc.). Vamos em frente com a solução efetiva.

Passo 2

Sequência \:a_{n}=1-(0,2)^{n}.
Conceito usado: se |r|<1 então r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Aqui r=0,2 (decimal com vírgula, conforme notação).
Cálculo: (0,2)^{n}\to 0, logo a_{n}=1-(0,2)^{n}\to 1-0=1. Portanto converge e o limite é 1.

Passo 3

Sequência \:a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}.
Técnica: dividir numerador e denominador por n^{3}.
Cálculo:
a_n=\frac{1}{1+\frac{1}{n^{3}}}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1}{1+0}=1.
Converge para 1.

Passo 4

Sequência \:a_{n}=\frac{3+5 n^{2}}{n+n^{2}}.
Técnica: fatorar pelo maior grau n^{2}.
Cálculo:
a_n=\frac{n^{2}\left(\frac{3}{n^{2}}+5\right)}{n^{2}\left(\frac{1}{n}+1\right)}=\frac{\frac{3}{n^{2}}+5}{\frac{1}{n}+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{5}{1}=5.
Converge para 5.

Passo 5

Sequência \:a_{n}=\frac{n^{3}}{n+1}.
Observação de comportamento: grau do numerador é 3, do denominador é 1, então a expressão cresce como n^{2}.
Cálculo rápido: a_n = n^2\cdot\frac{n}{n+1}. Como \frac{n}{n+1}\to 1, então a_n\sim n^2\to +\infty.
Conclusão: diverge para +\infty.

Passo 6

Sequência \:a_{n}=e^{1 / n}.
Propriedade usada: a função exponencial e^{x} é contínua; suficiente que 1/n\to 0.
Logo a_n\to e^{0}=1. Converge para 1.

Passo 7

Sequência \:a_{n}=\frac{3^{n+2}}{5^{n}}.
Manipulação:
a_n=3^{2}\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{n}=9\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Como \left|\frac{3}{5}\right|<1, então \left(\frac{3}{5}\right)^{n}\to 0. Logo a_n\to 0. Converge para 0.

Passo 8

Sequência \:a_{n}=\sqrt{\frac{n+1}{9 n+1}}.
Técnica: extrair n de numerador e denominador dentro da raiz:
a_n=\sqrt{\frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n\left(9+\frac{1}{n}\right)}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{n}}{9+\frac{1}{n}}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}.
Converge para \frac{1}{3}.

Passo 9

Sequência \:a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+4 n}}.
Técnica: fatorar potências de n. Note que \sqrt{n^{3}+4n}=n^{3/2}\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}. Então
a_n=\frac{n^{2}}{n^{3/2}\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}=n^{1/2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+4/n^{2}}}.
Como n^{1/2}\to\infty e o outro fator tende a 1, então a_n\to +\infty. Diverge para +\infty.

Passo 10

Sequência \:a_{n}=e^{2 n /(n+2)}.
Calcule o expoente limite:
\frac{2n}{n+2}=\frac{2}{1+2/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\;2.
Pela continuidade de e^{x}, a_n\to e^{2}. Converge para e^{2}.

Passo 11

Sequência \:a_{n}=\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}.
Observação: valor absoluto é \frac{n}{n^{2}+1}\sim\frac{1}{n}\to 0. O sinal alterna, mas o módulo vai a zero. Portanto a_n\to 0. Converge para 0.

Passo 12

Sequência \:a_{n}=\frac{(-1)^{n} n^{3}}{n^{3}+2 n^{2}+1}.
Fatore n^{3}:
a_n = (-1)^n\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{3}}}\xrightarrow[n\to\infty]{}(-1)^n.
As subsequências com n par tendem a +1 e com n ímpar tendem a -1. Portanto não existe limite único: diverge (não converge).

Passo 13

Sequência \:a_{n}=\cos (n / 2).
Intuição: o argumento n/2 (em radianos) não tende a nenhum valor e, porque \frac{1}{2\pi} é irracional (π é irracional), os valores n/2 (mod 2\pi) são densos na circunferência — a sequência não se aproxima de um único número. Em termos práticos, existem subsequências com limites diferentes, logo não converge. Conclusão: diverge (não tem limite).

Passo 14

Sequência \:a_{n}=\cos (2 / n).
Como 2/n\to 0 e \cos é contínua, a_n\to \cos 0 = 1. Converge para 1.

Passo 15

Sequência \:a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}.
Use a relação fatorial:
(2n+1)!=(2n+1)(2n)(2n-1)!\quad\Rightarrow\quad a_n=\frac{1}{(2n+1)(2n)}=\frac{1}{4n^{2}+2n}.
Isso tende a 0. Converge para 0.

Passo 16

Sequência \:a_{n}=\frac{\ln n}{\ln 2 n}.
Reescreva \ln 2n=\ln n+\ln 2. Então
a_n=\frac{\ln n}{\ln n+\ln 2}=\frac{1}{1+\frac{\ln 2}{\ln n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{1+0}=1.
Converge para 1.

Passo 17

Sequência \:a_{n}=\frac{e^{n}+e^{-n}}{e^{2 n}-1}.
Divida numerador e denominador por e^{2n}:
a_n=\frac{e^{-n}+e^{-3n}}{1-e^{-2n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{0+0}{1-0}=0.
Converge para 0.

Passo 18

Sequência \:a_{n}=\left\{n e^{-n}\right\} (parte fracionária).
Primeiro observe que n e^{-n}\to 0 (exponencial domina polinomial). Para n suficientemente grande 0<n e^{-n}<1, então a parte fracionária \{n e^{-n}\}=n e^{-n}. Assim \{n e^{-n}\}\to 0. Converge para 0.

Passo 19

Sequência \:a_{n}=\ln (n+1)-\ln n.
Use identidade de logaritmo:
a_n=\ln\frac{n+1}{n}=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right).
Para x pequeno \ln(1+x)\sim x, então a_n\sim\frac{1}{n}\to 0. Logo a_n\to 0. Converge para 0.

Passo 20

Sequência \:a_{n}=\frac{\cos ^{2} n}{2^{n}}.
Observação: 0\le \cos^{2}n\le 1. Assim 0\le a_n\le 2^{-n}. Como 2^{-n}\to 0, pelo princípio do sanduíche a_n\to 0. Converge para 0.

Passo 21

Sequência \:a_{n}=\sqrt[n]{2^{1+3 n}}.
Reescreva usando propriedades de potências:
a_n=\left(2^{1+3n}\right)^{1/n}=2^{(1+3n)/n}=2^{1/n+3}.
Como 1/n\to 0, isso tende a 2^{3}=8. Converge para 8.

Passo 22

Sequência \:a_{n}=n \sin(1 / n).
Aproximação para pequenos argumentos: \sin x\sim x quando x\to 0. Aqui x=1/n\to 0, logo \sin(1/n)\sim 1/n. Assim
a_n\sim n\cdot\frac{1}{n}=1.
Formalmente: \lim_{n\to\infty} n\sin(1/n)=1. Converge para 1.

Passo 23

Sequência \:a_{n}=2^{-n} \cos (n \pi).
Sabendo que \cos(n\pi)=(-1)^{n}, temos a_n=(-1)^{n}2^{-n}. Como 2^{-n}\to 0, então a_n\to 0 (os sinais alternados não impedem a convergência, porque o módulo vai a zero). Converge para 0.

Passo 24

Sequência \:a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}.
Conhecido: \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}. Aqui x=2. Portanto a_n\to e^{2}. Converge para e^{2}.

Passo 25

Sequência \:a_{n}=\frac{\sin 2 n}{1+\sqrt{n}}.
O numerador está limitado: |\sin 2n|\le 1. O denominador cresce como \sqrt{n}\to\infty. Portanto a fração tende a 0. Converge para 0.

Passo 26

Sequência \:a_{n}=\ln \left(2 n^{2}+1\right)-\ln \left(n^{2}+1\right).
Combine logs:
a_n=\ln\frac{2n^{2}+1}{n^{2}+1}.
O quociente tende a 2 (pois termos de maior ordem n^{2} dominam), logo a_n\to\ln 2. Converge para \ln 2.

Passo 27

Sequência \:a_{n}=\frac{(\ln n)^{2}}{n}.
Comparação de ordens: (\ln n)^{2} cresce muito mais devagar que n. Assim o quociente tende a 0. Mais formal: por L’Hôpital (ou propriedades de crescimento), \lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^{2}}{n}=0. Converge para 0.

Passo 28

Sequência \:a_{n}=n-\sqrt{n+1}\sqrt{n+3}.
Manipulação algébrica útil: escrevemos
a_n=\frac{n^2-(n+1)(n+3)}{n+\sqrt{(n+1)(n+3)}}=\frac{n^2-(n^2+4n+3)}{n+\sqrt{(n+1)(n+3)}}=\frac{-4n-3}{n+\sqrt{(n+1)(n+3)}}.
Dividindo numerador e denominador por n e tomando n\to\infty, o quociente tende a \frac{-4}{1+1\cdot}= -2 (detalhe: denominação se comporta como n+n=2n no limite). Mais direto: para grandes n o numerador é -4n+o(n) e o denominador \sim 2n, então o limite é -2. Converge para -2.

Passo 29

Sequência explícita \:a_{n}=\{0,1,0,0,1,0,0,0,1,\ldots\} (padrão com blocos de zeros crescentes e um 1 entre eles).
Observação: existem infinitos termos iguais a 0 e infinitos termos iguais a 1. Logo existem subsequências que convergem a 0 e outras a 1. Como não há um único limite, a sequência diverge (não converge).

Passo 30

Sequência \:a_{n}=\left\{1, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6},\ldots\right\}.
Identifique os dois subíndices: para k\ge 1 tem-se a_{2k-1}=\frac{1}{k} e a_{2k}=\frac{1}{k+2}. Ambas as subsequências tendem a 0 quando k\to\infty. Portanto toda a sequência tende a 0. Converge para 0.

Passo 31

Sequência \:a_{n}=\frac{n!}{2^{n}}.
Comparação de crescimento: fatorial cresce mais rápido que exponencial 2^{n}. Uma maneira rápida: razão
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!/2^{n+1}}{n!/2^{n}}=\frac{n+1}{2}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty,
logo os termos aumentam sem limite a partir de certo n, e a_n\to +\infty. Diverge para +\infty.

Passo 32

Sequência \:a_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n!}.
Use a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{3}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Isso implica que os termos tendem a 0 (o denominador factorial vence o crescimento exponencial). Portanto a_n\to 0. Converge para 0.

Resposta

1
1
5
diverge para +\infty
1
0
\tfrac{1}{3}
diverge para +\infty
e^{2}
0
diverge (não existe limite; subsequências \to\pm1)
diverge (não existe limite)
1
0
1
0
0
0
0
8
1
0
e^{2}
0
\ln 2
0
-2
diverge (não converge)
0
diverge para +\infty
0

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