O que o enunciado pede: para cada uma das sequências dadas eu preciso dizer se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite numérico.
Listei todas as sequências que você deu (na mesma ordem): a_{n}=1-(0,2)^{n} a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1} a_{n}=\frac{3+5 n^{2}}{n+n^{2}} a_{n}=\frac{n^{3}}{n+1}
a_{n}=e^{1 / n}
a_{n}=\frac{3^{n+2}}{5^{n}} a_{n}=\sqrt{\frac{n+1}{9 n+1}} a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+4 n}} a_{n}=e^{2 n /(n+2)} a_{n}=\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1} a_{n}=\frac{(-1)^{n} n^{3}}{n^{3}+2 n^{2}+1} a_{n}=\cos (n / 2) a_{n}=\cos (2 / n) a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!} a_{n}=\frac{\ln n}{\ln 2 n} a_{n}=\frac{e^{n}+e^{-n}}{e^{2 n}-1} a_{n}=\left\{n e^{-n}\right\} (interpreto \{\cdot\} como a parte fracionária de n e^{-n}) a_{n}=\ln (n+1)-\ln n a_{n}=\frac{\cos ^{2} n}{2^{n}} a_{n}=\sqrt[n]{2^{1+3 n}} a_{n}=n \sin(1 / n) a_{n}=2^{-n} \cos (n \pi) a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n} a_{n}=\frac{\sin 2 n}{1+\sqrt{n}} a_{n}=\ln \left(2 n^{2}+1\right)-\ln \left(n^{2}+1\right) a_{n}=\frac{(\ln n)^{2}}{n} a_{n}=n-\sqrt{n+1} \sqrt{n+3} a_{n}=\{0,1,0,0,1,0,0,0,1,\ldots\} (sequência explícita com padrão de 0s e 1s) a_{n}=\left\{1, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6},\ldots\right\} a_{n}=\frac{n!}{2^{n}} a_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n!}
A partir daqui eu vou resolver cada sequência passo a passo, explicando as propriedades usadas (por exemplo comparação de ordens de grandeza, fatoração, limite exp/log, regra de equivalência para pequenas quantidades, teste de subsequências para divergência, etc.). Vamos em frente com a solução efetiva.
Passo 2
Sequência \:a_{n}=1-(0,2)^{n}.
Conceito usado: se |r|<1 então r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Aqui r=0,2 (decimal com vírgula, conforme notação).
Cálculo: (0,2)^{n}\to 0, logo a_{n}=1-(0,2)^{n}\to 1-0=1. Portanto converge e o limite é 1.
Passo 3
Sequência \:a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}.
Técnica: dividir numerador e denominador por n^{3}.
Cálculo:
Sequência \:a_{n}=\frac{n^{3}}{n+1}.
Observação de comportamento: grau do numerador é 3, do denominador é 1, então a expressão cresce como n^{2}.
Cálculo rápido: a_n = n^2\cdot\frac{n}{n+1}. Como \frac{n}{n+1}\to 1, então a_n\sim n^2\to +\infty.
Conclusão: diverge para +\infty.
Passo 6
Sequência \:a_{n}=e^{1 / n}.
Propriedade usada: a função exponencial e^{x} é contínua; suficiente que 1/n\to 0.
Logo a_n\to e^{0}=1. Converge para 1.
Pela continuidade de e^{x}, a_n\to e^{2}. Converge para e^{2}.
Passo 11
Sequência \:a_{n}=\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}.
Observação: valor absoluto é \frac{n}{n^{2}+1}\sim\frac{1}{n}\to 0. O sinal alterna, mas o módulo vai a zero. Portanto a_n\to 0. Converge para 0.
As subsequências com n par tendem a +1 e com n ímpar tendem a -1. Portanto não existe limite único: diverge (não converge).
Passo 13
Sequência \:a_{n}=\cos (n / 2).
Intuição: o argumento n/2 (em radianos) não tende a nenhum valor e, porque \frac{1}{2\pi} é irracional (π é irracional), os valores n/2 (mod 2\pi) são densos na circunferência — a sequência não se aproxima de um único número. Em termos práticos, existem subsequências com limites diferentes, logo não converge. Conclusão: diverge (não tem limite).
Passo 14
Sequência \:a_{n}=\cos (2 / n).
Como 2/n\to 0 e \cos é contínua, a_n\to \cos 0 = 1. Converge para 1.
Passo 15
Sequência \:a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}.
Use a relação fatorial:
Sequência \:a_{n}=\left\{n e^{-n}\right\} (parte fracionária).
Primeiro observe que n e^{-n}\to 0 (exponencial domina polinomial). Para n suficientemente grande 0<n e^{-n}<1, então a parte fracionária \{n e^{-n}\}=n e^{-n}. Assim \{n e^{-n}\}\to 0. Converge para 0.
Passo 19
Sequência \:a_{n}=\ln (n+1)-\ln n.
Use identidade de logaritmo:
Para x pequeno \ln(1+x)\sim x, então a_n\sim\frac{1}{n}\to 0. Logo a_n\to 0. Converge para 0.
Passo 20
Sequência \:a_{n}=\frac{\cos ^{2} n}{2^{n}}.
Observação: 0\le \cos^{2}n\le 1. Assim 0\le a_n\le 2^{-n}. Como 2^{-n}\to 0, pelo princípio do sanduíche a_n\to 0. Converge para 0.
Passo 21
Sequência \:a_{n}=\sqrt[n]{2^{1+3 n}}.
Reescreva usando propriedades de potências:
Como 1/n\to 0, isso tende a 2^{3}=8. Converge para 8.
Passo 22
Sequência \:a_{n}=n \sin(1 / n).
Aproximação para pequenos argumentos: \sin x\sim x quando x\to 0. Aqui x=1/n\to 0, logo \sin(1/n)\sim 1/n. Assim
a_n\sim n\cdot\frac{1}{n}=1.
Formalmente: \lim_{n\to\infty} n\sin(1/n)=1. Converge para 1.
Passo 23
Sequência \:a_{n}=2^{-n} \cos (n \pi).
Sabendo que \cos(n\pi)=(-1)^{n}, temos a_n=(-1)^{n}2^{-n}. Como 2^{-n}\to 0, então a_n\to 0 (os sinais alternados não impedem a convergência, porque o módulo vai a zero). Converge para 0.
Sequência \:a_{n}=\frac{\sin 2 n}{1+\sqrt{n}}.
O numerador está limitado: |\sin 2n|\le 1. O denominador cresce como \sqrt{n}\to\infty. Portanto a fração tende a 0. Converge para 0.
O quociente tende a 2 (pois termos de maior ordem n^{2} dominam), logo a_n\to\ln 2. Converge para \ln 2.
Passo 27
Sequência \:a_{n}=\frac{(\ln n)^{2}}{n}.
Comparação de ordens: (\ln n)^{2} cresce muito mais devagar que n. Assim o quociente tende a 0. Mais formal: por L’Hôpital (ou propriedades de crescimento), \lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^{2}}{n}=0. Converge para 0.
Dividindo numerador e denominador por n e tomando n\to\infty, o quociente tende a \frac{-4}{1+1\cdot}= -2 (detalhe: denominação se comporta como n+n=2n no limite). Mais direto: para grandes n o numerador é -4n+o(n) e o denominador \sim 2n, então o limite é -2. Converge para -2.
Passo 29
Sequência explícita \:a_{n}=\{0,1,0,0,1,0,0,0,1,\ldots\} (padrão com blocos de zeros crescentes e um 1 entre eles).
Observação: existem infinitos termos iguais a 0 e infinitos termos iguais a 1. Logo existem subsequências que convergem a 0 e outras a 1. Como não há um único limite, a sequência diverge (não converge).
Passo 30
Sequência \:a_{n}=\left\{1, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6},\ldots\right\}.
Identifique os dois subíndices: para k\ge 1 tem-se a_{2k-1}=\frac{1}{k} e a_{2k}=\frac{1}{k+2}. Ambas as subsequências tendem a 0 quando k\to\infty. Portanto toda a sequência tende a 0. Converge para 0.
Passo 31
Sequência \:a_{n}=\frac{n!}{2^{n}}.
Comparação de crescimento: fatorial cresce mais rápido que exponencial 2^{n}. Uma maneira rápida: razão