Questão 4 (2.0 pontos):
Um balde cheio d’água rachou e começou a vazar. No instante t, vazava água a uma taxa de \frac{6}{\sqrt{33 t+66}} \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Quanta água vazou do balde no período entre t=5 e t=12 ?

Passo 1

O enunciado diz que, no instante t (em minutos), a água está vazando à taxa
\frac{6}{\sqrt{33t+66}}\\ \text{L/min}.
A pergunta é: quanta água vazou no intervalo de tempo entre t=5 e t=12 (minutos)?\n
Informações relevantes que temos:
  • A taxa de vazamento é \displaystyle r(t)=\frac{6}{\sqrt{33t+66}} dada em litros por minuto.
  • O intervalo de interesse é de t=5 até t=12 (minutos).
  • Precisamos encontrar o volume total vazado nesse intervalo (em litros).

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática): se r(t) é a taxa de variação do volume em função do tempo, isto é r(t)=\dfrac{dV}{dt}, então o volume total vazado entre t=a e t=b é a integral da taxa:
V_{vazado}=\int_{a}^{b} r(t)\,dt.
Aqui vamos aplicar isso com a=5 e b=12. Isso vem da definição de integral como soma contínua de pequenas quantidades r(t)\,dt: cada pedaço r(t)\,dt é um volume infinitesimal, e somando-os obtemos o volume total.

Passo 3

Montamos a integral do volume vazado:
V=\int_{5}^{12}\frac{6}{\sqrt{33t+66}}\,dt.

Passo 4

Vamos resolver a integral por substituição. Definimos a variável
u=33t+66.
Então a diferencial é
du=33\,dt\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{du}{33}.
Troca dos limites (importante em substituição de variáveis):
\text{quando } t=5,\; u=33\cdot 5+66=165+66=231,
\text{quando } t=12,\; u=33\cdot 12+66=396+66=462.

Passo 5

Substituindo na integral:
V=\int_{u=231}^{u=462}\frac{6}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{33} =\frac{6}{33}\int_{231}^{462}u^{-1/2}\,du.
Simplificando o coeficiente:
\frac{6}{33}=\frac{2}{11},
então
V=\frac{2}{11}\int_{231}^{462}u^{-1/2}\,du.

Passo 6

Integramos u^{-1/2}. Lembre que
\int u^{\alpha}\,du=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\quad(\text{para }\alpha\neq-1).
Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du=2u^{1/2}.
Portanto a primitiva do integrando é 2u^{1/2} e multiplicando pelo coeficiente \tfrac{2}{11} obtemos a antiderivada:
F(u)=\frac{2}{11}\cdot 2u^{1/2}=\frac{4}{11}u^{1/2}.
Agora avaliamos entre u=231 e u=462:
V=\left.\frac{4}{11}\sqrt{u}\,\right|_{231}^{462} =\frac{4}{11}\big(\sqrt{462}-\sqrt{231}\big).

Passo 7

Podemos escrever a resposta exata e uma aproximação numérica prática (útil na prova). Observação útil: \sqrt{462}=\sqrt{2\cdot 231}=\sqrt{2}\,\sqrt{231}, então
V=\frac{4}{11}\sqrt{231}\,(\sqrt{2}-1),
mas a forma \dfrac{4}{11}(\sqrt{462}-\sqrt{231}) já é boa como resultado exato. Para uma aproximação sem calculadora rápida, usamos aproximação linear em torno do inteiro mais próximo:
  • 15^2=225 então \sqrt{231}\approx 15+\dfrac{231-225}{2\cdot 15}=15+\dfrac{6}{30}=15,2.
  • 21^2=441 então \sqrt{462}\approx 21+\dfrac{462-441}{2\cdot 21}=21+\dfrac{21}{42}=21+0,5=21,5.
    Diferença aproximada: 21,5-15,2=6,3.
    Multiplicando por \tfrac{4}{11}\approx 0,363636
V\approx 0,363636\cdot 6,3\approx 2,29\\ \text{L}.
(essa aproximação usa um passo de linearização que é suficiente para poucas casas decimais na prova).

Resposta

\displaystyle V=\frac{4}{11}\big(\sqrt{462}-\sqrt{231}\big)\\ \text{L}\approx 2,29\\ \text{L}

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