Questão 4 (2.0 pontos):
Um balde cheio d’água rachou e começou a vazar. No instante t, vazava água a uma taxa de \frac{6}{\sqrt{33 t+66}} \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Quanta água vazou do balde no período entre t=5 e t=12 ?
Passo 1
O enunciado diz que, no instante t (em minutos), a água está vazando à taxa
\frac{6}{\sqrt{33t+66}}\\ \text{L/min}.
A pergunta é: quanta água vazou no intervalo de tempo entre t=5 e t=12 (minutos)?\n
Informações relevantes que temos:
A taxa de vazamento é \displaystyle r(t)=\frac{6}{\sqrt{33t+66}} dada em litros por minuto.
O intervalo de interesse é de t=5 até t=12 (minutos).
Precisamos encontrar o volume total vazado nesse intervalo (em litros).
Passo 2
Ideia para resolver (explicação didática): se r(t) é a taxa de variação do volume em função do tempo, isto é r(t)=\dfrac{dV}{dt}, então o volume total vazado entre t=a e t=b é a integral da taxa:
V_{vazado}=\int_{a}^{b} r(t)\,dt.
Aqui vamos aplicar isso com a=5 e b=12. Isso vem da definição de integral como soma contínua de pequenas quantidades r(t)\,dt: cada pedaço r(t)\,dt é um volume infinitesimal, e somando-os obtemos o volume total.
Passo 3
Montamos a integral do volume vazado:
V=\int_{5}^{12}\frac{6}{\sqrt{33t+66}}\,dt.
Passo 4
Vamos resolver a integral por substituição. Definimos a variável
u=33t+66.
Então a diferencial é
du=33\,dt\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{du}{33}.
Troca dos limites (importante em substituição de variáveis):
Podemos escrever a resposta exata e uma aproximação numérica prática (útil na prova). Observação útil: \sqrt{462}=\sqrt{2\cdot 231}=\sqrt{2}\,\sqrt{231}, então
V=\frac{4}{11}\sqrt{231}\,(\sqrt{2}-1),
mas a forma \dfrac{4}{11}(\sqrt{462}-\sqrt{231}) já é boa como resultado exato. Para uma aproximação sem calculadora rápida, usamos aproximação linear em torno do inteiro mais próximo:
15^2=225 então \sqrt{231}\approx 15+\dfrac{231-225}{2\cdot 15}=15+\dfrac{6}{30}=15,2.
21^2=441 então \sqrt{462}\approx 21+\dfrac{462-441}{2\cdot 21}=21+\dfrac{21}{42}=21+0,5=21,5.
Diferença aproximada: 21,5-15,2=6,3.
Multiplicando por \tfrac{4}{11}\approx 0,363636 dá