Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitadas pelas curvas dadas em torno de das retas especificadas. Esboce a região, o sólido é um disco ou arruela típicos.
y=x^{3}, 0=y, x=1 em torno de y=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno da reta y=1, a região limitada pelas curvas:
y=x^{3},\quad y=0,\quad x=1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As curvas se intersectam em x=0 (pois x^3=0 intersecta y=0 em x=0) e em x=1 (pois 1^3=1 e a vertical x=1 também fecha a região).
  • A região é o conjunto de pontos (x,y) com 0\le x\le 1 e 0\le y\le x^{3}.
  • A reta de rotação é y=1, que fica acima da região (pois para 0\le x\le 1 temos x^3\le 1).
    A pergunta explícita: encontrar o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Esboço da região (descrição verbal para imaginar):
  • No plano xy, a curva y=x^3 sobe do ponto (0,0) até (1,1), ficando abaixo da reta y=1 para 0\le x<1.
  • A reta y=0 é o eixo x-horizontal; a vertical x=1 fecha a região à direita.
  • Logo, a região é um “pedaço” entre o eixo x e a curva y=x^3, para x entre 0 e 1.
  • Ao rodar em torno de y=1 (uma linha horizontal acima da região), cada segmento vertical entre y=0 e y=x^3 gera um anel (arruela) — não um disco sólido sem buraco — porque a reta de rotação não passa pelo interior da região: há um furo central criado pela distância da parte superior do intervalo até a reta y=1.

Passo 3

Método de resolução (fórmula e ideia):
  • Usamos o método das arruelas (washers) com integração em x. Quando rotacionamos verticalmente (segmentos verticais) em torno de uma reta horizontal, o volume é dado por
V=\pi\int_{a}^{b}\bigl[R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr]\,dx,
onde:
  • a e b são os limites em x da região (aqui a=0, b=1);
  • R(x) é o raio externo (a maior distância do eixo de rotação até a borda mais afastada da região, medido perpendicularmente ao eixo);
  • r(x) é o raio interno (a menor distância do eixo de rotação até a borda mais próxima da região).
  • Intuição: cada fatia em x vira uma arruela com área \pi(R^2-r^2); somando (integrando) essas áreas ao longo de x obtemos o volume.

Passo 4

Determinação dos raios R(x) e r(x):
  • Para um x fixo em [0,1], a região vertical vai de y=0 (baixo) até y=x^{3} (cima).
  • Distância do eixo y=1 até o ponto inferior y=0:
\text{distância} = |1-0| = 1.â
  • Distância do eixo y=1 até o ponto superior y=x^{3}:
\text{distância} = |1 - x^{3}| = 1 - x^{3}\quad\text{(pois }0\le x^{3}\le 1\text{)}.â
  • Como 1\ge 1-x^{3} em [0,1], temos:
    • raio externo R(x)=1,
    • raio interno r(x)=1-x^{3}.

Passo 5

Montagem da integral do volume:
  • Substituindo na fórmula das arruelas com a=0 e b=1:
V=\pi\int_{0}^{1}\bigl[1^{2}-(1-x^{3})^{2}\bigr]\,dx.
  • Expandindo o integrando:
(1-x^{3})^{2}=1-2x^{3}+x^{6},
logo
1-(1-2x^{3}+x^{6})=2x^{3}-x^{6}.
  • Assim a integral fica
V=\pi\int_{0}^{1}\bigl(2x^{3}-x^{6}\bigr)\,dx.

Passo 6

Cálculo da integral passo a passo:
  • Integramos termo a termo:
\int 2x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{2},
\int x^{6}\,dx=\frac{x^{7}}{7}.
  • Portanto uma antiderivada do integrando é
\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{7}}{7}.
  • Avaliando de 0 a 1 e multiplicando por \pi:
V=\pi\left[\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{1} =\pi\left(\frac{1^{4}}{2}-\frac{1^{7}}{7}-0\right) =\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{7}\right).

Passo 7

Simplificação final e verificação rápida:
  • Compute \frac{1}{2}-\frac{1}{7}=\frac{7-2}{14}=\frac{5}{14}.
  • Logo o volume é
V=\frac{5\pi}{14}.
  • Checagem rápida: valor positivo e razoável; unidade de volume proporcional a \pi, faz sentido por rotação.

Resposta

\displaystyle \frac{5\pi}{14}

Exercícios relacionados