Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitadas pelas curvas dadas em torno de das retas especificadas. Esboce a região, o sólido é um disco ou arruela típicos.
em torno de
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno da reta
, a região limitada pelas curvas:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As curvas se intersectam em
(pois intersecta em ) e em (pois e a vertical também fecha a região). - A região é o conjunto de pontos
com e . - A reta de rotação é
, que fica acima da região (pois para temos ).
A pergunta explícita: encontrar o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Esboço da região (descrição verbal para imaginar):
- No plano
, a curva sobe do ponto até , ficando abaixo da reta para . - A reta
é o eixo -horizontal; a vertical fecha a região à direita. - Logo, a região é um “pedaço” entre o eixo
e a curva , para entre e . - Ao rodar em torno de
(uma linha horizontal acima da região), cada segmento vertical entre e gera um anel (arruela) — não um disco sólido sem buraco — porque a reta de rotação não passa pelo interior da região: há um furo central criado pela distância da parte superior do intervalo até a reta .
Passo 3
Método de resolução (fórmula e ideia):
- Usamos o método das arruelas (washers) com integração em
. Quando rotacionamos verticalmente (segmentos verticais) em torno de uma reta horizontal, o volume é dado por
onde:
-
e são os limites em da região (aqui , ); -
é o raio externo (a maior distância do eixo de rotação até a borda mais afastada da região, medido perpendicularmente ao eixo); -
é o raio interno (a menor distância do eixo de rotação até a borda mais próxima da região). - Intuição: cada fatia em
vira uma arruela com área ; somando (integrando) essas áreas ao longo de obtemos o volume.
Passo 4
Determinação dos raios
e
:
- Para um
fixo em , a região vertical vai de (baixo) até (cima). - Distância do eixo
até o ponto inferior :
- Distância do eixo
até o ponto superior :
- Como
em , temos: - raio externo
, - raio interno
.
- raio externo
Passo 5
Montagem da integral do volume:
- Substituindo na fórmula das arruelas com
e :
- Expandindo o integrando:
logo
- Assim a integral fica
Passo 6
Cálculo da integral passo a passo:
- Integramos termo a termo:
- Portanto uma antiderivada do integrando é
- Avaliando de
a e multiplicando por :
Passo 7
Simplificação final e verificação rápida:
- Compute
. - Logo o volume é
- Checagem rápida: valor positivo e razoável; unidade de volume proporcional a
, faz sentido por rotação.