Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{2}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a sua soma.
Informações dadas: os termos gerais da série são
a_n=\sqrt[n]{2}=2^{1/n},
com n variando em 1,2,3,\dots.

Passo 2

Lembra de uma condição necessária (muito útil na prova): se uma série \sum a_n converge então os seus termos devem tender a zero, isto é,
\text{se }\sum a_n\text{ converge, então }\lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Explicando por que isso é verdade (rápido e intuitivo): se S_N=\sum_{n=1}^N a_n tende a um limite S quando N\to\infty, então
a_N = S_N - S_{N-1} \longrightarrow S - S = 0.
Portanto, antes de qualquer teste mais elaborado, sempre verifique o limite dos termos gerais; se não for 0, a série diverge imediatamente. Esse teste é chamado de “teste do termo geral” (ou “teste necessário”).

Passo 3

Vamos calcular o limite dos termos a_n=2^{1/n}. Uma técnica prática é usar logaritmo/exponencial:
2^{1/n} = e^{\ln(2^{1/n})} = e^{(\ln 2)/n}.
Como \ln 2 é uma constante positiva e \dfrac{\ln 2}{n}\to 0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty} 2^{1/n} = \lim_{n\to\infty} e^{(\ln 2)/n} = e^0 = 1.
Portanto os termos da série não tendem a zero; tendem a 1.

Passo 4

Aplicando o teste do termo geral: como
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} 2^{1/n} = 1 \neq 0,
a série não pode convergir. Conclusão: a série diverge, e portanto não existe soma finita para ela.

Resposta

A série diverge.

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