Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a sua soma.
Informações dadas: os termos gerais da série são
Informações dadas: os termos gerais da série são
com
variando em
.
Passo 2
Lembra de uma condição necessária (muito útil na prova): se uma série
converge então os seus termos devem tender a zero, isto é,
Explicando por que isso é verdade (rápido e intuitivo): se
tende a um limite
quando
, então
Portanto, antes de qualquer teste mais elaborado, sempre verifique o limite dos termos gerais; se não for
, a série diverge imediatamente. Esse teste é chamado de “teste do termo geral” (ou “teste necessário”).
Passo 3
Vamos calcular o limite dos termos
. Uma técnica prática é usar logaritmo/exponencial:
Como
é uma constante positiva e
quando
, temos
Portanto os termos da série não tendem a zero; tendem a
.
Passo 4
Aplicando o teste do termo geral: como
a série não pode convergir. Conclusão: a série diverge, e portanto não existe soma finita para ela.
Resposta
A série diverge.