Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite:
\left\{\frac{3+(-1)^{n}}{n^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = \frac{3 + (-1)^n}{n^2}
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o seu limite. Vamos usar teoria de limites de sequência e, em particular, o Teorema do Confronto.

Passo 2

Note que (-1)^n alterna entre -1 e 1, portanto o numerador 3 + (-1)^n assume apenas os valores 2 e 4. Isso garante a desigualdade, para todo n\ge1:
0 \;\le\;\frac{3 + (-1)^n}{n^2}\;\le\;\frac{4}{n^2}.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n^2}=0.
Pelo Teorema do Confronto, como 0\le a_n\le \tfrac{4}{n^2} e o limite da função superior é zero, segue que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty}\frac{3+(-1)^n}{n^2}=0.

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