Achar o domínio de cada uma das seguintes funções
f(x, y)=\frac{1}{R^{2}-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função racional
f(x,y) = \frac{1}{R^{2} - x^{2} - y^{2}}.
Este tipo de problema envolve determinar para quais pares (x,y) o denominador não se anula, pois não podemos dividir por zero.

Passo 2

Identificamos o denominador e impomos a condição de existência de f:
R^{2} - x^{2} - y^{2} \neq 0.

Passo 3

Reescrevendo a condição em termos de x e y, temos
x^{2} + y^{2} \neq R^{2}.
Ou seja, não podemos permitir que o ponto (x,y) esteja exatamente na circunferência de raio R.

Passo 4

Assim, o domínio de f é o conjunto de todos os pontos do plano, exceto aqueles que satisfazem x^{2}+y^{2}=R^{2}. Em forma explicitada:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<R^{2}\}\;\cup\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>R^{2}\}.

Resposta

\mathrm{Dom}(f) =\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq R^{2}\}.

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