Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite:
\left\{\frac{n!}{(n+2)!}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a sequência \displaystyle a_n = \frac{n!}{(n+2)!},
ou seja, verificar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite quando n\to\infty. Vamos usar propriedades de fatorial e comportamento de funções racionais para n grande.

Passo 2

Para simplificar \displaystyle a_n, usamos a relação
(n+2)! = (n+2)\,(n+1)\,n!
Logo,
a_n = \frac{n!}{(n+2)!} = \frac{n!}{(n+2)\,(n+1)\,n!} = \frac{1}{(n+2)\,(n+1)}.

Passo 3

Agora observamos o comportamento de \displaystyle \frac{1}{(n+2)\,(n+1)}
quando n\to\infty. O produto (n+2)(n+1) cresce como n^2, ou seja, vai a infinito. Então o inverso tende a zero:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+2)\,(n+1)} = 0.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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