Achar o acréscimo total e a diferencial total da função f(x, y)=e^{x y} no ponto (1,2), para \Delta x=0,15 e \Delta y=0,2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{xy}
e pede dois itens no ponto (1,2) para \Delta x=0,15 e \Delta y=0,2:
– o acréscimo total \Delta f = f(1+\Delta x,\,2+\Delta y)-f(1,2)
– a diferencial total \mathrm{d}f=f_x(1,2)\,\Delta x + f_y(1,2)\,\Delta y

Passo 2

Calculamos primeiro os valores de f nos pontos:
f(1,2)=e^{1\cdot2}=e^2,
f(1+0,15,\,2+0,2)=f(1{,}15,\,2{,}2)=e^{1{,}15\cdot2{,}2}=e^{2{,}53}.
Logo o acréscimo total é
\Delta f = e^{2{,}53}-e^2.

Passo 3

Para a diferencial total, achamos as derivadas parciais:
f_x(x,y)=y\,e^{xy},\qquad f_y(x,y)=x\,e^{xy}.
No ponto (1,2) temos
f_x(1,2)=2\,e^2,\qquad f_y(1,2)=1\,e^2=e^2.

Passo 4

Agora a diferencial total é
\mathrm{d}f = f_x(1,2)\,\Delta x + f_y(1,2)\,\Delta y =2e^2\cdot0,15 + e^2\cdot0,2 =(0,3+0,2)\,e^2 =0,5\,e^2.

Resposta

Acréscimo total:
\Delta f = e^{2{,}53}-e^2\approx5{,}16.
Diferencial total:
\mathrm{d}f =0,5\,e^2\approx3{,}69.

Exercícios relacionados