Sobre a função
restrita ao intervalo
, podemos concluir que:
é crescente e côncava para cima.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa função $ f(x) = \frac{2x}{x - 1} $ que está sendo analisada no intervalo de $ x $ de 1 até mais infinito. A gente quer descobrir se essa função está sempre aumentando (ou seja, é crescente) e se tem uma “curvatura” para cima (côncava para cima) nesse intervalo. Para isso, vamos usar a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo. Usando a regra do quociente, que é $ \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} $, onde $ u = 2x $ e $ v = x - 1 $.
Calculando as derivadas:
- $ u’ = 2 $
- $ v’ = 1 $
Então,
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada $ f’(x) = \frac{-2}{(x - 1)^2} $, vamos analisar o sinal dela no intervalo $ (1, +\infty) $.
Sabemos que $ (x - 1)^2 $ é sempre positivo, porque qualquer número ao quadrado é positivo. Então, o denominador é positivo. O numerador é -2, que é negativo. Então, $ f’(x) $ é negativo nesse intervalo.
Isso significa que a função está diminuindo, já que a derivada é negativa.
Passo 4
Parece que a conclusão inicial estava incorreta! A função não está crescendo, mas sim decrescendo no intervalo $ (1, +\infty) $. Mas vamos continuar para verificar a concavidade.
Passo 5
Para descobrir se a função é côncava para cima, precisamos achar a segunda derivada $ f’’(x) $. Vamos derivar $ f’(x) = \frac{-2}{(x - 1)^2} $.
Usando a regra da potência:
Passo 6
Agora, vamos ver o sinal da segunda derivada $ f’’(x) = \frac{4}{(x - 1)^3} $ no intervalo $ (1, +\infty) $.
Como $ x > 1 $, $ (x - 1) $ é positivo, e elevando a um número ímpar (3), o denominador $ (x - 1)^3 $ também é positivo. O numerador é 4, que é positivo. Então, $ f’’(x) $ é positivo nesse intervalo.
Isso significa que a função é côncava para cima.
Resposta
No intervalo $ (1, +\infty) $, a função $ f(x) = \frac{2x}{x - 1} $ é decrescente e côncava para cima.