Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
(n-2n)^n

Passo 1

Resumo do enunciado: a sequência é dada por an=l(tfracn-2nr)^n. O conteúdo principal aqui é limite de sequência exponencial do tipo (1+tfracxn)^n, que conhecemos que tende a e^x quando ntoinfty.

Passo 2

Reescrevendo a sequência: observe que tfracn-2n=1-tfrac2n, logo
an=l(1-2nr)^n=expl(nlnl(1-tfrac2nr)r)

Passo 3

Analisando o limite do expoente: para xto0 vale ln(1-x)sim -x. Aqui temos x=2/n, então
lnl(1-tfrac2nr)sim -tfrac2n,

Passo 4

e multiplicando por n vem
nlnl(1-tfrac2nr)to -2 (quando ntoinfty)

Passo 5

Como a função exp é contínua, an=exp(nln(1-2/n)) converge para exp(-2), ou seja, a sequência converges.

Resposta

Converge para e^-2.

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