Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
raizn^2+4n+4

Passo 1

A questão quer saber o comportamento da sequência an = raizn^2+4n+4 quando n cresce. Isso faz parte do tópico de limites de sequências, então vamos usar análise assintótica pra descobrir se ela converge e, em caso afirmativo, qual é o limite.

Passo 2

O truque é fatorar n^2 de dentro da raiz. Sabendo que raizn^2+4 = raizn^2l(1 + tfrac4n^2r), isso vira raizn^2 cdot raiz1 + tfrac4n^2 = n,raiz1 + tfrac4n^2.

Passo 3

Agora, pra ver o comportamento pra ntoinfty, dividimos numerador e denominador por n. A conta fica mais limpa:
raizn^2+4n+4 = n,raiz1 + tfrac4n^2nl(1 + tfrac4nr) = raiz1 + tfrac4n^21 + tfrac4n

Passo 4

Depois disso, é só usar a propriedade de limite: quando ntoinfty, tfrac4n^2 e tfrac4n viram zero. A raiz raiz1 + 4/n^2 vai pra 1 e o denominador (1 + 4/n) também vai pra 1. Então o quociente tende a 1.

Resposta

A sequência converge e o limite é 1.

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