Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
3 n+4raiz2 n^2-5

Passo 1

Neste exercício, temos a sequência \ $a_n = \frac{3n+4}{\sqrt{2n^2 - 5}}$. O conteúdo aqui é limite de sequência quando $n \to \infty$, e vamos precisar usar a ideia de fatorar o maior termo de cada parte para ver o comportamento assintótico.

Passo 2

Para lidar com o infinito, a gente fatora $n$ no numerador e dentro da raiz do denominador. No numerador fica: \ n2n^2 - 5 = n^2 \Bigl(2 - \tfrac{5}{n^2}\Bigr),$$ então \ $ 3n + 4 = n l(3 + tfrac4nr)

Passo 3

Substituindo essas fatorações em $a_n$, obtemos: \ $ an

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando $n \to \infty$. Sabemos que $\tfrac{4}{n} \to 0$ e $\tfrac{5}{n^2} \to 0$. Como soma, divisão e raiz são operações contínuas, podemos levar o limite para dentro: \ $ n to infty

Passo 5

Portanto, a sequência converge e seu limite é $\tfrac{3}{\sqrt{2}}.$

Resposta

A sequência converge e limntoinfty 3n+4raiz2n^2-5 = 3raiz2.

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