Sobre a função f(x)=2 xx-1 restrita ao intervalo (1,+infty), podemos concluir que:
f é crescente e côncava para baixo.

Passo 1

Temos a função f(x)=2xx-1 definida para x>1. Vamos precisar da primeira derivada para ver se ela é crescente ou decrescente e da segunda derivada para ver a concavidade.

Passo 2

Calculando a primeira derivada:
f'(x)=ddxgl(2xx-1gr)=2(x-1)-2x(x-1)^2=-2(x-1)^2
Como (x-1)^2>0 para todo x>1, temos f'(x)<0. Ou seja, a função é decrescente em (1,+infty).

Passo 3

Agora a segunda derivada para concavidade:
f''(x)=ddxl(-2(x-1)^-2r)=-2cdot(-2)(x-1)^-3=4(x-1)^3
Como (x-1)^3>0 para x>1, temos f''(x)>0. Logo, a função é côncava para cima no intervalo.

Passo 4

Concluímos que, no intervalo (1,+infty), f é decrescente e côncava para cima.

Resposta

A função é decrescente e côncava para cima.

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