Sobre a função f(x)=2 xx-1 restrita ao intervalo (1,+infty), podemos concluir que:
f é decrescente e côncava para baixo.

Passo 1

O enunciado pede estudar a monotonicidade e a concavidade da função f(x)=2xx-1 no intervalo (1,+infty). Para isso, vamos precisar calcular a derivada primeira (para monotonicidade) e a derivada segunda (para concavidade).

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em f(x)=2xx-1, temos a derivada primeira:
f'(x)=2,(x-1)-2xcdot1(x-1)^2=2x-2-2x(x-1)^2=-2(x-1)^2
Como (x-1)^2>0 para todo x>1, fica f'(x)<0. Logo, f é decrescente em (1,+infty).

Passo 3

Para ver a concavidade, derivamos f'(x)=-2(x-1)^-2. Usando a regra da cadeia, obtemos a derivada segunda:
f''(x)=-2cdot(-2),(x-1)^-3=4(x-1)^3
No intervalo (1,+infty), temos x-1>0, logo f''(x)>0. Isso significa que f é côncava para cima.

Passo 4

Portanto, embora f seja de fato decrescente, ela NÃO é côncava para baixo, mas sim côncava para cima, tornando a afirmação original falsa.

Resposta

A função é decrescente e côncava para cima (a afirmação de que é côncava para baixo é incorreta).

Exercícios relacionados