Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(7) an=tg(2 n pi1+8 n)
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(8) an=(-1)^n-1 nn^2+1

Passo 1

O enunciado propõe duas sequências e pede pra gente verificar se cada uma converge ou diverge, e em caso de convergência encontrar o limite. O conteúdo que vamos usar envolve limites de sequências trigonométricas (continuidade da função
tan) e limites de sequências racionais alternadas.

Passo 2

Como lembrete teórico, se uma sequência xn tende a L e tan é contínua em L (isto é, L não é de forma que o cosseno de L seja zero), então tan(xn) tende a tan(L). Já para sequências do tipo (-1)^n bn, se bnto0 temos (-1)^n bnto0.

Passo 3

Vamos analisar a primeira sequência
xn=2npi1+8n
Podemos dividir numerador e denominador por n:
$$
x_n=\frac{2\pi}{8 + \tfrac1n} xn=2pi8 + tfrac1n
\lim_{n\to\infty} x_n=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.
$$

Passo 4

Como tan é contínua em pi/4, a sequência
an=tanl(xnr)=tanl(tfrac2npi1+8nr)
converge para
tanl(tfracpi4r)=1

Passo 5

Agora a segunda sequência é
bn=(-1)^n-1nn^2+1
Podemos escrever
bn=(-1)^n-1cdotnn^2+1=(-1)^n-1cdot1n+tfrac1n
Como n+tfrac1ntoinfty, temos tfrac1n+1/nto0. Pelo que dissemos, uma alternância de sinal não impede que o limite seja zero.

Passo 6

Portanto, a primeira sequência converge para 1 e a segunda sequência também converge, mas para 0.

Resposta

(7) Converge e lim an=1.
(8) Converge e lim an=0.

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