Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(7)
45
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(8)
(7)
45
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(8)
Passo 1
O enunciado propõe duas sequências e pede pra gente verificar se cada uma converge ou diverge, e em caso de convergência encontrar o limite. O conteúdo que vamos usar envolve limites de sequências trigonométricas (continuidade da função
) e limites de sequências racionais alternadas.
Passo 2
Como lembrete teórico, se uma sequência
tende a
e
é contínua em
(isto é,
não é de forma que o cosseno de
seja zero), então
tende a
. Já para sequências do tipo
, se
temos
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira sequência
Podemos dividir numerador e denominador por
:
$$
x_n=\frac{2\pi}{8 + \tfrac1n}
\lim_{n\to\infty} x_n=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.
$$
Passo 4
Como
é contínua em
, a sequência
converge para
Passo 5
Agora a segunda sequência é
Podemos escrever
Como
, temos
. Pelo que dissemos, uma alternância de sinal não impede que o limite seja zero.
Passo 6
Portanto, a primeira sequência converge para
e a segunda sequência também converge, mas para
.
Resposta
(7) Converge e
.
(8) Converge e .
(8) Converge e