Conteúdo: EDOs lineares de 2ª ordem com método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar montar a solução geral como soma da parte homogênea e de uma parte particular, e depois usar as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Para a parte homogênea, substituímos yh=e^rt na equação sem termo forçante e obtemos a equação característica:
r^2 - 3r - 4 = 0
Resolvendo:
r = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52,
logo r1 = 4 e r2 = -1. Portanto
yh(t) = C1 e^4t + C2 e^-t
Passo 3
Para a parte particular, como o termo não homogêneo é 2sin(t), usamos o método dos coeficientes indeterminados com o palpite
yp(t) = A,sin(t) + B,cos(t)
Calculamos as derivadas:
yp' = Acos(t) - Bsin(t),
yp'' = -Asin(t) - Bcos(t)
Substituindo em y'' - 3y' - 4y = 2sin(t) e coletando coeficientes de sin(t) e cos(t) gera o sistema: