Resolva os PVIs abaixo
l y^prime prime-3 y^prime-4 y=2 sen(t) y(0)=0 y^prime(0)=0

Passo 1

Temos um problema de valor inicial (PVI) de segunda ordem não homogêneo com coeficientes constantes:
– Equação:
y'' - 3y' - 4y = 2,sin(t)
– Condições iniciais:
y(0)=0, y'(0)=0
Conteúdo: EDOs lineares de 2ª ordem com método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar montar a solução geral como soma da parte homogênea e de uma parte particular, e depois usar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Para a parte homogênea, substituímos yh=e^rt na equação sem termo forçante e obtemos a equação característica:
r^2 - 3r - 4 = 0
Resolvendo:
r = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52,
logo r1 = 4 e r2 = -1. Portanto
yh(t) = C1 e^4t + C2 e^-t

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é 2sin(t), usamos o método dos coeficientes indeterminados com o palpite
yp(t) = A,sin(t) + B,cos(t)
Calculamos as derivadas:
yp' = Acos(t) - Bsin(t),
yp'' = -Asin(t) - Bcos(t)
Substituindo em y'' - 3y' - 4y = 2sin(t) e coletando coeficientes de sin(t) e cos(t) gera o sistema:
-5A + 3B = 2, -3A - 5B = 0
Resolvendo, achamos
A = -517, B = 317
Logo
yp(t) = -517sin(t) + 317cos(t)

Passo 4

A solução geral é a soma das duas partes:
y(t) = C1 e^4t + C2 e^-t - 517sin(t) + 317cos(t)
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro:
y(0) = C1 + C2 + 317 = 0 ;Rightarrow; C1 + C2 = -317
Depois a derivada:
y'(t) = 4C1 e^4t - C2 e^-t - 517cos(t) - 317sin(t),
e em t=0:
y'(0) = 4C1 - C2 - 517 = 0 ;Rightarrow; 4C1 - C2 = 517
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = -317, 4C1 - C2 = 517,
obtemos
C1 = 285, C2 = -1785

Resposta

y(t) = 285e^4t - 1785e^-t - 517sin(t) + 317cos(t)

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