Resolva as equações:
Passo 1
Estamos diante de uma equação diferencial de primeira ordem do tipo Bernoulli:
Reescrevendo na forma padrão de Bernoulli, temos
Reescrevendo na forma padrão de Bernoulli, temos
$$
y’ + \frac{4}{x} ;y = -x^5 e^x ;y^2,$$
onde identificamos P(x)=4/x, Q(x)= -x^5 e^x e n=2.
onde identificamos P(x)=4/x, Q(x)= -x^5 e^x e n=2.
Passo 2
Para eliminar o termo não linear, fazemos a substituição v = y^{1-n} = y^{-1}. Calculando a derivada:
$$
v’ = -y^{-2}y’.
v’ - \frac{4}{x}v = x^5 e^x.$$
Passo 3
Vamos resolver a equação linear via fator integrante. Calculamos
$$
\mu(x) = e^{\int -\frac{4}{x}dx} = x^{-4}.
(x^{-4}v)’ = x^{-4}\cdot x^5 e^x = x e^x.
x^{-4}v = \int x e^x dx = (x-1)e^x + C.
v = x4\bigl((x-1)ex + C\bigr).$$
Passo 4
Voltando à variável original y = 1/v, obtemos a solução geral: y(x) = 1 / [x^4 ((x-1)e^x + C)].