Resolva as equações:
y^(1)+4x y=-x^5 e^x y^2, x>0

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial de primeira ordem do tipo Bernoulli:
Reescrevendo na forma padrão de Bernoulli, temos
$$
y’ + \frac{4}{x} ;y = -x^5 e^x ;y^2,$$
onde identificamos P(x)=4/x, Q(x)= -x^5 e^x e n=2.

Passo 2

Para eliminar o termo não linear, fazemos a substituição v = y^{1-n} = y^{-1}. Calculando a derivada:
$$
v’ = -y^{-2}y’. v' = -y^-2y'çãéçã
v’ - \frac{4}{x}v = x^5 e^x.$$

Passo 3

Vamos resolver a equação linear via fator integrante. Calculamos
$$
\mu(x) = e^{\int -\frac{4}{x}dx} = x^{-4}. mu(x) = e^integral -4xdx = x^-4çã
(x^{-4}v)’ = x^{-4}\cdot x^5 e^x = x e^x. (x^-4v)' = x^-4cdot x^5 e^x = x e^x
x^{-4}v = \int x e^x dx = (x-1)e^x + C. x^-4v = integral x e^x dx = (x-1)e^x + C
v = x4\bigl((x-1)ex + C\bigr).$$

Passo 4

Voltando à variável original y = 1/v, obtemos a solução geral: y(x) = 1 / [x^4 ((x-1)e^x + C)].

Resposta

y(x)=dfrac1x^4l((x-1)e^x + Cr)

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