Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(6) an=raiz1+4 n^21+n^2
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(7) an=tg(2 n pi1+8 n)

Passo 1

A questão pede para decidir se as duas sequências convergem ou divergem e, em caso de convergência, encontrar o limite. O assunto é limite de sequência real. Vamos precisar usar propriedades de limites (dividir termos dominantes) e a continuidade da função tangente.

Passo 2

Vamos olhar primeiro a sequência an=raiz1+4n^21+n^2. Reescrevendo dentro da raiz, dividimos numerador e denominador por n^2:
1+4n^21+n^2 = 1n^2+41n^2+1
À medida que ntoinfty, tfrac1n^2to0, então
tfrac1n^2+4tfrac1n^2+1to0+40+1=4
Como raizcdot é contínua em 4, concluímos que
an = raiz1+4n^21+n^2 to raiz4 = 2

Passo 3

Agora a sequência bn=tanl(2npi1+8nr). Definimos o ângulo
thetan = 2npi8n+1 = 2pi8+tfrac1n
Quando ntoinfty, tfrac1nto0 e portanto
thetan to 2pi8 = pi4
Como tan(x) é contínua em x=pi/4 (e não há ponto de descontinuidade ali), temos
bn = tan(thetan) to tanl(pi4r) = 1

Resposta

A sequência do item (6) converge para 2 e a do item (7) converge para 1.

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