Encontre uma solução particular do problema y^prime prime+y=g(x), para cada uma das escolhas abaixo para g(x) :
a) g(x)=sen(x).
b) g(x)=sec ^3(x),|x|.

Passo 1

O problema é achar uma solução particular da equação y''+y=g(x). O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não homogênea. Para resolver precisamos da solução geral da homogênea e de métodos adequados: coeficientes não determinados quando g(x)=sin x e variação de parâmetros quando g(x)=sec^3 x.

Passo 2

Para g(x)=sin x, a equação homogênea associada é y''+y=0 com soluções yh=Acos x+Bsin x. Como o termo forçante sin x pertence ao espaço das soluções homogêneas, fazemos o palpite multiplicado por x:
yp(x)=xl(Ccos x+Dsin xr)

Passo 3

Calculamos as derivadas:
yp'(x)=Ccos x - Cxsin x + Dsin x + Dxcos x,
yp''(x)=-2Csin x - Cxcos x +2Dcos x - Dxsin x
Substituindo em y''+y=sin x e igualando coeficientes de xcos x, xsin x, cos x, sin x, obtemos C=-1/2 e D=0. Logo
yp(x)=-tfrac12,xcos x

Passo 4

Para g(x)=sec^3 x usamos variação de parâmetros. As soluções da homogênea são y1=cos x e y2=sin x e o Wronskiano é
W=y1y2'-y1'y2=1

Passo 5

Usamos as fórmulas
u1'=-y2,g(x)W=-sin xsec^3 x=-tan xsec^2 x,
u2'=y1,g(x)W=cos xsec^3 x=sec^2 x
Integrando,
u1=-tfrac12sec^2 x,
u2=tan x

Passo 6

A solução particular é
yp(x)=nu1cos x+nu2sin x=-tfrac12sec^2 xcos x+tan xsin x
Simplificando sec^2 xcos x=sec x e tan xsin x=sin^2 x/cos x=(1-cos^2 x)/cos x=sec x-cos x, obtemos
yp(x)=tfrac12sec x-cos x

Resposta

Para (a) g(x)=\sin x, uma solução particular é yp(x)=-tfrac12,xcos x. Para (b) g(x)=\sec^3 x, uma solução particular é yp(x)=tfrac12sec x-cos x.

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