Encontre uma solução particular do problema
, para cada uma das escolhas abaixo para
:
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
O problema é achar uma solução particular da equação
. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não homogênea. Para resolver precisamos da solução geral da homogênea e de métodos adequados: coeficientes não determinados quando
e variação de parâmetros quando
.
Passo 2
Para
, a equação homogênea associada é
com soluções
. Como o termo forçante
pertence ao espaço das soluções homogêneas, fazemos o palpite multiplicado por
:
Passo 3
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
e igualando coeficientes de
, obtemos
e
. Logo
Passo 4
Para
usamos variação de parâmetros. As soluções da homogênea são
e
e o Wronskiano é
Passo 5
Usamos as fórmulas
Integrando,
Passo 6
A solução particular é
Simplificando
e
, obtemos
Resposta
Para (a) g(x)=\sin x, uma solução particular é
. Para (b) g(x)=\sec^3 x, uma solução particular é
.