Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para analisar se a sequência
converge ou diverge. O tema aqui é limites de sequências e comparação entre crescimento polinomial (
) e exponencial (
), e vamos usar teoria de limites e, se preciso, o critério de L’Hôpital.
Passo 2
Para ver o comportamento, reescrevemos
como
. Sabemos que, conforme
cresce,
cai muito mais rápido que
cresce, sugerindo que o produto tende a zero.
Passo 3
Para formalizar, consideramos a função contínua
e avaliamos
. Temos forma indeterminada
, então aplicamos L’Hôpital derivando numerador e denominador:
Passo 4
Como essa versão contínua tende a zero, a sequência discreta
também converge para zero.
Resposta
A sequência converge e
.