Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
ne^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a sequência an = n / e^n converge ou diverge. O tema aqui é limites de sequências e comparação entre crescimento polinomial ( n) e exponencial ( e^n), e vamos usar teoria de limites e, se preciso, o critério de L’Hôpital.

Passo 2

Para ver o comportamento, reescrevemos an = ne^n como n cdot e^-n. Sabemos que, conforme n cresce, e^-n cai muito mais rápido que n cresce, sugerindo que o produto tende a zero.

Passo 3

Para formalizar, consideramos a função contínua f(x) = xe^x e avaliamos limxtoinfty f(x). Temos forma indeterminada infty/infty, então aplicamos L’Hôpital derivando numerador e denominador:
limxtoinftyxe^x=limxtoinfty1e^x=0

Passo 4

Como essa versão contínua tende a zero, a sequência discreta an=ne^n também converge para zero.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyne^n=0.

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