Seja f: U subset R^2 R uma função definida no aberto e de classe C^1 em U. Prove que f é diferenciável. Além disse, apresente um exemplo de uma função que é diferenciável, mas não é de classe C^1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se uma função f: U⊂ℝ²→ℝ é de classe C¹ em um aberto U (ou seja, as derivadas parciais existem e são contínuas em U), então f é diferenciável em U; e depois apresentar um exemplo de função diferenciável que não seja C¹.

Passo 2

A definição que vamos usar é: f é diferenciável em (a,b) se existir uma transformação linear L tal que ao escrevermos h=(h,k), tenhamos
f(a+h,b+k)-f(a,b)=L(h,k)+o(|(h,k)|)(|(h,k)|to0)
No caso de f:ℝ²→ℝ, a candidata natural para L é
L(h,k)=fx(a,b),h+fy(a,b),k

Passo 3

Para provar isso, fixamos (a,b)∈U e um incremento (h,k) pequeno de modo que (a+h,b+k)∈U. Decompomos a diferença em dois troços:
f(a+h,b+k)-f(a,b)=[f(a+h,b+k)-f(a,b+k)]+[f(a,b+k)-f(a,b)]
No primeiro colchete vemos variação em x com y fixo; no segundo, variação em y com x fixo.

Passo 4

Aplicamos o Teorema do Valor Médio em cada direção: existe ξ∈(0,1) tal que
f(a+h,b+k)-f(a,b+k)=fx(a+ξh,b+k),h,
e existe η∈(0,1) tal que
f(a,b+k)-f(a,b)=fy(a,b+ηk),k
Somando, obtemos
f(a+h,b+k)-f(a,b)=fx(a+ξh,b+k),h+fy(a,b+ηk),k

Passo 5

Como f_x e f_y são contínuas e (ξh,k)→(0,0), (0,ηk)→(0,0) quando (h,k)→(0,0), segue que
fx(a+ξh,b+k)to fx(a,b),
fy(a,b+ηk)to fy(a,b)
Logo podemos escrever
f(a+h,b+k)-f(a,b)=fx(a,b),h+fy(a,b),k+r(h,k),
onde r(h,k)/|(h,k)|→0. Isso mostra a diferenciabilidade de f.

Passo 6

Para dar um exemplo de função diferenciável mas não C¹, considere
f(x,y)= x^2yx^4+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Uma verificação de rotina mostra que f é diferenciável em (0,0) com derivada nula, mas f_x não é contínua em (0,0), de modo que f não é de classe C¹.

Passo 7

Portanto, concluímos que toda função C¹ em U é diferenciável em U, e apresentamos um exemplo de função diferenciável que falha em ter derivadas parciais contínuas no ponto (0,0).

Resposta

Como f é de classe C¹ em U, suas derivadas parciais existem e são contínuas, e pelo procedimento do Teorema do Valor Médio em cada direção mostramos que f(a+h,b+k)=f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k+o(|(h,k)|), logo f é diferenciável. Um exemplo de função diferenciável mas não C¹ é
f(x,y)= x^2yx^4+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
que tem derivadas parciais em (0,0) mas estas não são contínuas lá.

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