Seja
uma função definida no aberto e de classe
em
. Prove que
é diferenciável. Além disse, apresente um exemplo de uma função que é diferenciável, mas não é de classe
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se uma função f: U⊂ℝ²→ℝ é de classe C¹ em um aberto U (ou seja, as derivadas parciais existem e são contínuas em U), então f é diferenciável em U; e depois apresentar um exemplo de função diferenciável que não seja C¹.
Passo 2
A definição que vamos usar é: f é diferenciável em (a,b) se existir uma transformação linear L tal que ao escrevermos h=(h,k), tenhamos
No caso de f:ℝ²→ℝ, a candidata natural para L é
Passo 3
Para provar isso, fixamos (a,b)∈U e um incremento (h,k) pequeno de modo que (a+h,b+k)∈U. Decompomos a diferença em dois troços:
No primeiro colchete vemos variação em x com y fixo; no segundo, variação em y com x fixo.
Passo 4
Aplicamos o Teorema do Valor Médio em cada direção: existe ξ∈(0,1) tal que
e existe η∈(0,1) tal que
Somando, obtemos
Passo 5
Como f_x e f_y são contínuas e (ξh,k)→(0,0), (0,ηk)→(0,0) quando (h,k)→(0,0), segue que
Logo podemos escrever
onde r(h,k)/|(h,k)|→0. Isso mostra a diferenciabilidade de f.
Passo 6
Para dar um exemplo de função diferenciável mas não C¹, considere
Uma verificação de rotina mostra que f é diferenciável em (0,0) com derivada nula, mas f_x não é contínua em (0,0), de modo que f não é de classe C¹.
Passo 7
Portanto, concluímos que toda função C¹ em U é diferenciável em U, e apresentamos um exemplo de função diferenciável que falha em ter derivadas parciais contínuas no ponto (0,0).
Resposta
Como f é de classe C¹ em U, suas derivadas parciais existem e são contínuas, e pelo procedimento do Teorema do Valor Médio em cada direção mostramos que f(a+h,b+k)=f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k+o(|(h,k)|), logo f é diferenciável. Um exemplo de função diferenciável mas não C¹ é
que tem derivadas parciais em (0,0) mas estas não são contínuas lá.