Determine se a sequência converge ou diverge:
\left(\frac{1}{2 n+3}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \left(\frac{1}{2 n+3}\right)_{n \in \mathbb{N}} converge ou diverge. Informações dadas:
  • A sequência é a_n=\dfrac{1}{2n+3} para \;n\in\mathbb{N}.
  • Não há outra informação; a pergunta é apenas: a sequência tem limite quando n\to\infty? Se sim, qual é o limite?

Passo 2

Primeira observação intuitiva (sem prova formal ainda): conforme n cresce, 2n+3 cresce sem limite, e dividir 1 por um número que cresce muito grande tende a dar um valor muito pequeno. Portanto a intuição é que a_n tende a 0. Agora vamos transformar essa intuição em uma prova rigorosa.

Passo 3

Vamos comparar a_n com quantidades mais simples que já sabemos o comportamento. Note que, para todo n\ge 1,
2n+3 \ge 2n
portanto, como a função x\mapsto 1/x é decrescente para x>0,
0<\frac{1}{2n+3} \le \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}.
Então temos a desigualdade em cadeia
0 \le \frac{1}{2n+3} \le \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}.

Passo 4

Agora precisamos saber o que acontece com \dfrac{1}{n} quando n\to\infty. Vou provar que \dfrac{1}{n}\to 0 usando a definição de limite (prova \varepsilon- N), porque esse é um resultado básico que podemos aplicar depois.
Prova de \dfrac{1}{n}\to 0: seja \varepsilon>0 dado. Escolha um natural N tal que
N > \frac{1}{\varepsilon}.
Isso é possível porque os naturais são ilimitados. Para todo n\ge N temos
0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Logo, por definição, \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.

Passo 5

Usando a desigualdade do Passo 3 e o resultado do Passo 4, apliquei uma forma do teorema do confronto (squeeze): como 0\le \dfrac{1}{2n+3}\le \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n}\to 0, segue que \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n}\to 0 (multiplicar por constante não muda o limite) e, portanto,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+3}=0.

Passo 6

Para ficar completamente explícito com a definição \varepsilon- N diretamente na sequência a_n: seja \varepsilon>0. Queremos \dfrac{1}{2n+3}<\varepsilon. Isso é equivalente a
2n+3 > \frac{1}{\varepsilon}\quad\Longleftrightarrow\quad n > \frac{1/\varepsilon - 3}{2}.
Então, escolhendo
N=\left\lceil\frac{1/\varepsilon - 3}{2}\right\rceil
(ou, para evitar problemas com valores negativos, N=\max\left\{1,\left\lceil\frac{1/\varepsilon - 3}{2}\right\rceil\right\}), teremos para todo n\ge N que \dfrac{1}{2n+3}<\varepsilon. Isso demonstra diretamente, pela definição, que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{2n+3}=0.

Resposta

Converge para 0.

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