Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Informações dadas:
- A sequência é
para . - Não há outra informação; a pergunta é apenas: a sequência tem limite quando
? Se sim, qual é o limite?
Passo 2
Primeira observação intuitiva (sem prova formal ainda): conforme
cresce,
cresce sem limite, e dividir
por um número que cresce muito grande tende a dar um valor muito pequeno. Portanto a intuição é que
tende a
. Agora vamos transformar essa intuição em uma prova rigorosa.
Passo 3
Vamos comparar
com quantidades mais simples que já sabemos o comportamento. Note que, para todo
,
portanto, como a função
é decrescente para
,
Então temos a desigualdade em cadeia
Passo 4
Agora precisamos saber o que acontece com
quando
. Vou provar que
usando a definição de limite (prova
-
), porque esse é um resultado básico que podemos aplicar depois.
Prova de
: seja
dado. Escolha um natural
tal que
Isso é possível porque os naturais são ilimitados. Para todo
temos
Logo, por definição,
.
Passo 5
Usando a desigualdade do Passo 3 e o resultado do Passo 4, apliquei uma forma do teorema do confronto (squeeze): como
e
, segue que
(multiplicar por constante não muda o limite) e, portanto,
Passo 6
Para ficar completamente explícito com a definição
-
diretamente na sequência
: seja
. Queremos
. Isso é equivalente a
Então, escolhendo
(ou, para evitar problemas com valores negativos,
), teremos para todo
que
. Isso demonstra diretamente, pela definição, que
.
Resposta
Converge para
.