Determine se a sequência converge ou diverge:
\left(\frac{1}{n} \operatorname{sen}(n)\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \left(\frac{1}{n}\operatorname{sen}(n)\right)_{n\in\mathbb{N}} converge ou diverge.
Informações dadas e o que é relevante:
  • A sequência é formada pelos termos \displaystyle a_n=\frac{1}{n}\operatorname{sen}(n) para cada n\in\mathbb{N}.
  • Precisamos decidir se existe \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n e, caso exista, calcular esse limite.

Passo 2

Fato importante (que vamos usar): para todo número real x vale \displaystyle -1\le \operatorname{sen}(x)\le 1.
Explicando isso de forma simples: a função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer entrada, então nunca sai desse intervalo. Esse é um fato básico sobre \operatorname{sen} que podemos usar sem prova longa aqui.

Passo 3

Multiplicando a desigualdade -1\le \operatorname{sen}(n)\le 1 por \displaystyle\frac{1}{n} (note que para n\in\mathbb{N} temos \frac{1}{n}>0, então a desigualdade preserva a ordem) obtemos, para todo n\ge 1,
-\frac{1}{n}\le \frac{1}{n}\operatorname{sen}(n)\le \frac{1}{n}.
Ou seja, cada termo a_n está preso entre -\frac{1}{n} e \frac{1}{n}.

Passo 4

Agora precisamos analisar o comportamento das sequências \left(-\frac{1}{n}\right)_{n} e \left(\frac{1}{n}\right)_{n} quando n\to\infty. Conhecemos o resultado clássico: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. Vou mostrar uma prova curta e direta por definição de limite, para você poder usar na prova sem desculpa:
Dado \varepsilon>0, escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil). Para todo n\ge N temos
0\le \frac{1}{n}\le \frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que \frac{1}{n}\to 0. Consequentemente, -\frac{1}{n}\to 0 também (porque se b_n\to 0 então -b_n\to 0).

Passo 5

Aplicamos o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto): se x_n\le y_n\le z_n para todo n e se \lim x_n=\lim z_n=L, então \lim y_n=L. Aqui temos, para todo n,
-\frac{1}{n}\le \frac{1}{n}\operatorname{sen}(n)\le \frac{1}{n},
e já vimos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. Pelo Teorema do Confronto, o termo do meio também converge para 0.

Passo 6

Intuição rápida para ficar na cabeça: a parte oscilante \operatorname{sen}(n) fica sempre entre -1 e 1, mas o fator \frac{1}{n} vai a zero e “apaga” qualquer oscilação. Por isso os termos da sequência ficam cada vez menores em módulo e tendem a zero — a oscilação persiste, mas com amplitude que vai a zero.

Resposta

Converge; \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\operatorname{sen}(n)=0

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