Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge.
Informações dadas e o que é relevante:
Informações dadas e o que é relevante:
- A sequência é formada pelos termos
para cada . - Precisamos decidir se existe
e, caso exista, calcular esse limite.
Passo 2
Fato importante (que vamos usar): para todo número real
vale
.
Explicando isso de forma simples: a função seno oscila entre e
para qualquer entrada, então nunca sai desse intervalo. Esse é um fato básico sobre
que podemos usar sem prova longa aqui.
Explicando isso de forma simples: a função seno oscila entre
Passo 3
Multiplicando a desigualdade
por
(note que para
temos
, então a desigualdade preserva a ordem) obtemos, para todo
,
Ou seja, cada termo
está preso entre
e
.
Passo 4
Agora precisamos analisar o comportamento das sequências
e
quando
. Conhecemos o resultado clássico:
. Vou mostrar uma prova curta e direta por definição de limite, para você poder usar na prova sem desculpa:
Dado
, escolha
tal que
(por exemplo
). Para todo
temos
Isso mostra que
. Consequentemente,
também (porque se
então
).
Passo 5
Aplicamos o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto): se
para todo
e se
, então
. Aqui temos, para todo
,
e já vimos que
e
. Pelo Teorema do Confronto, o termo do meio também converge para
.
Passo 6
Intuição rápida para ficar na cabeça: a parte oscilante
fica sempre entre
e
, mas o fator
vai a zero e “apaga” qualquer oscilação. Por isso os termos da sequência ficam cada vez menores em módulo e tendem a zero — a oscilação persiste, mas com amplitude que vai a zero.
Resposta
Converge;