Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge.
Informações dadas: a sequência é definida por para cada
.
Pergunta a responder: a sequência tem limite finito quando ou ela diverge (por exemplo, tende a
?
Informações dadas: a sequência é definida por
Pergunta a responder: a sequência tem limite finito quando
Passo 2
Vamos lembrar o que significam convergência e divergência (isso é importante para saber o que provar).
Definição de convergência: a sequência converge para um número finito
se, para todo
, existe
tal que
para todo
.
Definição de divergir para : dizemos que
se, para todo
, existe
tal que
para todo
.
Nosso objetivo será mostrar que a sequência não tem limite finito, e na verdade cresce sem limite (tende a ).
Definição de convergência: a sequência
Definição de divergir para
Nosso objetivo será mostrar que a sequência não tem limite finito, e na verdade cresce sem limite (tende a
Passo 3
Intuição rápida (sem provar ainda): o numerador
cresce exponencialmente com
, enquanto o denominador
cresce apenas como uma potência polinomial. Em geral uma exponencial com base maior que
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, então esperamos que
fique cada vez maior e tenda a
. Agora vamos transformar essa intuição em uma prova rigorosa e mecânica que você pode replicar na prova.
Passo 4
Defina
. Uma técnica conveniente é estudar a razão entre termos consecutivos:
Agora analisamos o comportamento dessa razão quando
. Note que
logo, passando ao limite,
Passo 5
Interpretação dessa conclusão: a razão entre termos consecutivos tende a
, que é estritamente maior que
. Isso sugere que a sequência, a partir de algum índice, cresce de forma semelhante a uma progressão geométrica com razão maior que
, portanto fica cada vez maior e não é limitada superiormente. Vou dar um argumento direto e simples usando isso, que é fácil de reproduzir na prova.
Como
, existe
tal que, para todo
,
(Escolhemos
só como exemplo de número entre
e
; qualquer número
com
serve.) Então, para
e
, aplicando essa desigualdade recursivamente,
O fator
tende a
quando
. Assim, para qualquer
eu posso escolher
suficientemente grande para que
; isso mostra que existe índice (algo como
) a partir do qual todos os termos excedem
. Portanto
.
Passo 6
Conclusão final lógica: a sequência
não converge para um número finito; pelo argumento acima, ela cresce sem limite, ou seja, diverge para
. Isso confirma formalmente a intuição de que uma exponencial (com base
) vence qualquer polinômio.
Resposta
A sequência diverge:
.