Determine se a sequência converge ou diverge:
\left(\frac{2^{n}}{n^{2}}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \left(\frac{2^{n}}{n^{2}}\right)_{n\in\mathbb{N}} converge ou diverge.
Informações dadas: a sequência é definida por a_n=\frac{2^{n}}{n^{2}} para cada n\in\mathbb{N}.
Pergunta a responder: a sequência tem limite finito quando n\to\infty ou ela diverge (por exemplo, tende a +\infty?

Passo 2

Vamos lembrar o que significam convergência e divergência (isso é importante para saber o que provar).
Definição de convergência: a sequência (a_n) converge para um número finito L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |a_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N.
Definição de divergir para +\infty: dizemos que a_n\to+\infty se, para todo M>0, existe N tal que a_n>M para todo n\ge N.
Nosso objetivo será mostrar que a sequência não tem limite finito, e na verdade cresce sem limite (tende a +\infty).

Passo 3

Intuição rápida (sem provar ainda): o numerador 2^{n} cresce exponencialmente com n, enquanto o denominador n^{2} cresce apenas como uma potência polinomial. Em geral uma exponencial com base maior que 1 cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, então esperamos que \frac{2^{n}}{n^{2}} fique cada vez maior e tenda a +\infty. Agora vamos transformar essa intuição em uma prova rigorosa e mecânica que você pode replicar na prova.

Passo 4

Defina a_n=\dfrac{2^{n}}{n^{2}}. Uma técnica conveniente é estudar a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{2^{\,n+1}}{(n+1)^{2}}}{\dfrac{2^{n}}{n^{2}}} =2\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}.
Agora analisamos o comportamento dessa razão quando n\to\infty. Note que
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2}\longrightarrow 1 \quad\text{quando }n\to\infty,
logo, passando ao limite,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\cdot 1=2.

Passo 5

Interpretação dessa conclusão: a razão entre termos consecutivos tende a 2, que é estritamente maior que 1. Isso sugere que a sequência, a partir de algum índice, cresce de forma semelhante a uma progressão geométrica com razão maior que 1, portanto fica cada vez maior e não é limitada superiormente. Vou dar um argumento direto e simples usando isso, que é fácil de reproduzir na prova.
Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=2, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge \frac{3}{2}.
(Escolhemos 3/2 só como exemplo de número entre 1 e 2; qualquer número c com 1<c<2 serve.) Então, para n\ge N e k\ge 0, aplicando essa desigualdade recursivamente,
a_{n+k} = a_n\cdot\frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\cdots\frac{a_{n+k}}{a_{n+k-1}} \ge a_n\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{k}.
O fator \left(\dfrac{3}{2}\right)^{k} tende a +\infty quando k\to\infty. Assim, para qualquer M>0 eu posso escolher k suficientemente grande para que a_n\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k}>M; isso mostra que existe índice (algo como n+k) a partir do qual todos os termos excedem M. Portanto a_n\to+\infty.

Passo 6

Conclusão final lógica: a sequência \left(\dfrac{2^{n}}{n^{2}}\right) não converge para um número finito; pelo argumento acima, ela cresce sem limite, ou seja, diverge para +\infty. Isso confirma formalmente a intuição de que uma exponencial (com base >1) vence qualquer polinômio.

Resposta

A sequência diverge: \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}}=+\infty.

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