Determine se a sequência converge ou diverge:
\left(\ln \left(e^{n}+2\right)-n\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(\ln\left(e^{n}+2\right)-n\right)_{n\in\mathbb{N}} e pede para determinar se ela converge ou diverge.
Informações relevantes que temos:
  • A sequência é definida por a_{n}=\ln\left(e^{n}+2\right)-n para n\in\mathbb{N}.
  • Queremos descobrir se \lim_{n\to\infty} a_{n} existe (convergência) e, se existir, qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão usando propriedades do logaritmo. Lembrando que, para x>0 e y>0, vale \ln(xy)=\ln x + \ln y. Como e^{n}>0, podemos escrever:
\ln\left(e^{n}+2\right)=\ln\!\big(e^{n}(1+2e^{-n})\big)=\ln(e^{n})+\ln\!\big(1+2e^{-n}\big).
Também sabemos que \ln(e^{n})=n. Portanto
a_{n}=\ln\left(e^{n}+2\right)-n=\big(n+\ln(1+2e^{-n})\big)-n=\ln\!\big(1+2e^{-n}\big).

Passo 3

Agora que reduzimos a_{n} a \ln(1+2e^{-n}), observe que para todo n\in\mathbb{N} temos e^{-n}>0, logo 1+2e^{-n}>1 e portanto a_{n}=\ln(1+2e^{-n})>0. Ou seja, a sequência é positiva.

Passo 4

Vejamos monotonicidade: a função x\mapsto \ln(1+2x) é crescente quando x>0 (porque \ln é crescente). Como e^{-(n+1)}<e^{-n} para todo n, temos
a_{n+1}=\ln\!\big(1+2e^{-(n+1)}\big)<\ln\!\big(1+2e^{-n}\big)=a_{n}.
Portanto \{a_{n}\} é estritamente decrescente.

Passo 5

Temos agora que \{a_{n}\} é decrescente e limitada inferiormente por 0 (pois todos os termos são positivos). Pelo princípio básico de sequências monotônicas, uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge (existe o limite finito).

Passo 6

Vamos achar o valor do limite. Note que e^{-n}\to 0 quando n\to\infty (expoencial decai para zero). Como a_{n}=\ln(1+2e^{-n}), podemos estudar o comportamento de \ln(1+x) quando x\to 0^{+}.
Uma desigualdade útil e elementar (fácil de justificar por comparação de integrais) é: para todo x>0,
\ln(1+x)\le x.
Explicação curta: \ln(1+x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t}\,dt e para t\in[0,x] vale \dfrac{1}{1+t}\le 1, então a integral é \le \int_{0}^{x}1\,dt=x.

Passo 7

Aplicando essa desigualdade com x=2e^{-n}>0, obtemos
0<a_{n}=\ln(1+2e^{-n})\le 2e^{-n}.
Mas \lim_{n\to\infty}2e^{-n}=0. Pela desigualdade em sanduíche (teorema do confronto), segue que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 8

Conclusão final: a sequência é positiva, estritamente decrescente, limitada inferiormente por 0 e seu limite é 0. Portanto a sequência converge e o seu limite é 0.

Resposta

Converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\big(\ln(e^{n}+2)-n\big)=0

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