Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A sequência é definida por
para . - Queremos descobrir se
existe (convergência) e, se existir, qual é o seu valor.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão usando propriedades do logaritmo. Lembrando que, para
e
, vale
. Como
, podemos escrever:
Também sabemos que
. Portanto
Passo 3
Agora que reduzimos
a
, observe que para todo
temos
, logo
e portanto
. Ou seja, a sequência é positiva.
Passo 4
Vejamos monotonicidade: a função
é crescente quando
(porque
é crescente). Como
para todo
, temos
Portanto
é estritamente decrescente.
Passo 5
Temos agora que
é decrescente e limitada inferiormente por
(pois todos os termos são positivos). Pelo princípio básico de sequências monotônicas, uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge (existe o limite finito).
Passo 6
Vamos achar o valor do limite. Note que
quando
(expoencial decai para zero). Como
, podemos estudar o comportamento de
quando
.
Uma desigualdade útil e elementar (fácil de justificar por comparação de integrais) é: para todo
,
Explicação curta:
e para
vale
, então a integral é
.
Passo 7
Aplicando essa desigualdade com
, obtemos
Mas
. Pela desigualdade em sanduíche (teorema do confronto), segue que
.
Passo 8
Conclusão final: a sequência é positiva, estritamente decrescente, limitada inferiormente por
e seu limite é
. Portanto a sequência converge e o seu limite é
.
Resposta
Converge e