A solução da EDP \frac{\ln (y)}{\sin (2 x)} \frac{\partial U}{\partial x}-\frac{y}{\sin (x)} \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\ln (y)}{\sin (x)} U é:
a. \bigcirc
U(x, y)=c e^{\lambda \sin (x)+\frac{(\lambda-1)}{2}(\ln (y))^{2}}
b. \bigcirc N.D.A.
c. \bigcirc U(x, y)=c e^{2 \lambda \sin (x)+\frac{(\lambda-1)}{2}(\ln (y))^{2}}
d. \bigcirc
U(x, y)=c e^{2 \lambda \sin (x)+(\lambda-1)(\ln (y))}
e. \bigcirc
U(x, y)=c e^{2 \lambda \sin (x)+\frac{(\lambda-1)}{2}(\ln (y))}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial parcial
\frac{\ln(y)}{\sin(2x)}\frac{\partial U}{\partial x}-\frac{y}{\sin(x)}\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\ln(y)}{\sin(x)}U,
e pede qual das alternativas apresenta a solução correta. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A incógnita é U(x,y).
  • Aparecem funções \ln(y), \sin(x) e \sin(2x), portanto assumimos y>0 (para \ln(y) definido) e evitamos pontos onde \sin(x)=0 ou \sin(2x)=0 ao dividir pelas respectivas expressões durante a resolução (serão ramos singulares que não tratamos aqui).
  • As alternativas apresentam soluções do tipo exponencial com um parâmetro \lambda e uma constante multiplicativa c.
  • Nosso objetivo é encontrar a forma geral da solução e comparar com as alternativas para decidir qual coincide.

Passo 2

Vamos usar o método das características (explico passo a passo o porquê e como funciona). Uma EDP linear de primeira ordem da forma
a(x,y)\,U_x + b(x,y)\,U_y = c(x,y)\,U
pode ser resolvida tomando as equações características
\frac{dx}{ds}=a(x,y),\qquad \frac{dy}{ds}=b(x,y),\qquad \frac{dU}{ds}=c(x,y)U,
onde s é um parâmetro ao longo das curvas características. Nessas equações, U_x e U_y são as derivadas parciais, e a ideia é transformar a PDE em um sistema de ODEs ao longo das curvas nas quais a PDE “vira” uma equação ordinária. Aqui identificamos
a(x,y)=\frac{\ln(y)}{\sin(2x)},\qquad b(x,y)=-\frac{y}{\sin(x)},\qquad c(x,y)=\frac{\ln(y)}{\sin(x)}.

Passo 3

Escrevemos as razões das características (igualando pares das frações)
\frac{dx}{\frac{\ln(y)}{\sin(2x)}}=\frac{dy}{-\frac{y}{\sin(x)}}=\frac{dU}{\frac{\ln(y)}{\sin(x)}U}.
Primeiro vamos achar uma primeira integral relacionando x e y: igualando os dois primeiros termos,
\frac{dx}{\frac{\ln(y)}{\sin(2x)}}=\frac{dy}{-\frac{y}{\sin(x)}}.
Multiplicando ambos os lados por denominadores apropriados obtemos
\sin(2x)\,dx = -\ln(y)\,\sin(x)\,\frac{dy}{y}.

Passo 4

Simplificamos \sin(2x) usando a identidade \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x). Assim
2\sin(x)\cos(x)\,dx = -\ln(y)\,\sin(x)\,\frac{dy}{y}.
Se \sin(x)\neq 0 podemos dividir por \sin(x), ficando
2\cos(x)\,dx = -\ln(y)\,\frac{dy}{y}.
Agora vemos que o lado esquerdo depende só de x e o direito só de y (boa separação). Integramos ambos os lados.

Passo 5

Integração:
  • Para o lado esquerdo:
\int 2\cos(x)\,dx = 2\sin(x) + C_1.
  • Para o lado direito, fazemos a substituição t=\ln(y) (então dt=\frac{dy}{y}):
\int -\ln(y)\,\frac{dy}{y} = \int -t\,dt = -\frac{t^2}{2} + C_2 = -\frac{(\ln(y))^2}{2} + C_2.
Igualando as integrais (absorvendo constantes em uma constante única) obtemos a primeira integral (constante ao longo das características)
2\sin(x)+\frac{(\ln(y))^2}{2}=\kappa,
onde \kappa é uma constante ao longo de cada característica. Portanto uma combinação invariante é
I_1(x,y)=2\sin(x)+\frac{(\ln(y))^2}{2}.

Passo 6

Agora relacionamos y e U usando as segundas razões. Igualamos o segundo e o terceiro termos:
\frac{dy}{-\frac{y}{\sin(x)}}=\frac{dU}{\frac{\ln(y)}{\sin(x)}U}.
Multiplicando por \sin(x) (não zero) temos
\frac{dy}{-y}=\frac{dU}{\ln(y)\,U}.
Usamos novamente a substituição t=\ln(y) com dt=\frac{dy}{y}. Então \frac{dy}{y}=dt, e a equação vira
- dt = \frac{dU}{t\,U}.
Multiplicando por t: -t\,dt=\frac{dU}{U}. Agora integramos ambos os lados.

Passo 7

Integração da relação entre t e U:
\int -t\,dt = \int \frac{dU}{U}
-\frac{t^2}{2} = \ln|U| + C,
ou seja
\ln|U| = -\frac{t^2}{2} + C = -\frac{(\ln(y))^2}{2} + C.
Exponenciando,
U(x,y)=C_1 e^{-\frac{(\ln(y))^2}{2}},
onde C_1 é constante ao longo de uma característica. Porém, essa “constante” pode variar de característica para característica — ou seja, pode ser uma função da combinação invariante I_1(x,y) encontrada antes. Assim a solução geral (família geral) da PDE é
U(x,y)=F\!\left(2\sin(x)+\frac{(\ln(y))^2}{2}\right)\,e^{-\frac{(\ln(y))^2}{2}},
onde F é uma função arbitrária de uma variável.
(Comentário didático: esse é o comportamento típico — a solução geral depende de uma função arbitrária F da primeira integral das características. No concurso/prova, muitas alternativas dão subfamílias específicas, típicas escolhas são F(s)=c e^{\lambda s}.)

Passo 8

Agora vamos comparar com as alternativas. Tomando a subfamília exponencial F(s)=c e^{\lambda s}, com c e \lambda constantes, obtemos
U(x,y)=c e^{\lambda\left(2\sin(x)+\frac{(\ln(y))^2}{2}\right)} e^{-\frac{(\ln(y))^2}{2}}.
Juntando expoentes:
U(x,y)=c\,e^{2\lambda\sin(x)}\,e^{\left(\frac{\lambda}{2}-\frac{1}{2}\right)(\ln(y))^2} = c\,e^{2\lambda\sin(x)}\,e^{\frac{\lambda-1}{2}(\ln(y))^2}.
Essa expressão coincide exatamente com a alternativa (c), que é
U(x, y)=c\,e^{2\lambda\sin(x)+\frac{\lambda-1}{2}(\ln(y))^{2}}.

Resposta

c. U(x, y)=c\,e^{2 \lambda \sin (x)+\frac{(\lambda-1)}{2}(\ln (y))^{2}}

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