A solução da EDP
é:
a.
b.
N.D.A.
c.
d.
e.
a.
c.
d.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial parcial
e pede qual das alternativas apresenta a solução correta. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A incógnita é
. - Aparecem funções
, e , portanto assumimos (para definido) e evitamos pontos onde ou ao dividir pelas respectivas expressões durante a resolução (serão ramos singulares que não tratamos aqui). - As alternativas apresentam soluções do tipo exponencial com um parâmetro
e uma constante multiplicativa . - Nosso objetivo é encontrar a forma geral da solução e comparar com as alternativas para decidir qual coincide.
Passo 2
Vamos usar o método das características (explico passo a passo o porquê e como funciona). Uma EDP linear de primeira ordem da forma
pode ser resolvida tomando as equações características
onde
é um parâmetro ao longo das curvas características. Nessas equações,
e
são as derivadas parciais, e a ideia é transformar a PDE em um sistema de ODEs ao longo das curvas nas quais a PDE “vira” uma equação ordinária. Aqui identificamos
Passo 3
Escrevemos as razões das características (igualando pares das frações)
Primeiro vamos achar uma primeira integral relacionando
e
: igualando os dois primeiros termos,
Multiplicando ambos os lados por denominadores apropriados obtemos
Passo 4
Simplificamos
usando a identidade
. Assim
Se
podemos dividir por
, ficando
Agora vemos que o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
(boa separação). Integramos ambos os lados.
Passo 5
Integração:
- Para o lado esquerdo:
- Para o lado direito, fazemos a substituição
(então ):
Igualando as integrais (absorvendo constantes em uma constante única) obtemos a primeira integral (constante ao longo das características)
onde
é uma constante ao longo de cada característica. Portanto uma combinação invariante é
Passo 6
Agora relacionamos
e
usando as segundas razões. Igualamos o segundo e o terceiro termos:
Multiplicando por
(não zero) temos
Usamos novamente a substituição
com
. Então
, e a equação vira
Multiplicando por
:
. Agora integramos ambos os lados.
Passo 7
Integração da relação entre
e
:
ou seja
Exponenciando,
onde
é constante ao longo de uma característica. Porém, essa “constante” pode variar de característica para característica — ou seja, pode ser uma função da combinação invariante
encontrada antes. Assim a solução geral (família geral) da PDE é
onde
é uma função arbitrária de uma variável.
(Comentário didático: esse é o comportamento típico — a solução geral depende de uma função arbitrária
da primeira integral das características. No concurso/prova, muitas alternativas dão subfamílias específicas, típicas escolhas são
.)
Passo 8
Agora vamos comparar com as alternativas. Tomando a subfamília exponencial
, com
e
constantes, obtemos
Juntando expoentes:
Essa expressão coincide exatamente com a alternativa (c), que é
Resposta
c.