Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinarmos se ela converge ou diverge.
Informações dadas: para cada o termo é
.
Pergunta clara: determinar o comportamento limite quando (ou seja, existir
e, se existir, qual é esse valor).
Informações dadas: para cada
Pergunta clara: determinar o comportamento limite quando
Passo 2
Escolhendo um método: uma ideia natural é comparar o crescimento polinomial
com o crescimento exponencial
. Um método simples e eficiente é estudar a razão entre termos consecutivos
Se a razão tende para um número menor que
, isso indica que os termos decaem geometricamente e a sequência tende a
. Vou usar esse método porque é direto, exige só manipulação algébrica e um pouco de limite, e dá uma prova rigorosa de que a sequência vai a zero.
Passo 3
Calculemos a razão entre termos consecutivos. Usamos a definição
. Então
Passo 4
Vamos tomar o limite dessa razão quando
. Sabemos que
. Portanto
Como
(lembre que
), a razão limite é menor que
.
Passo 5
Agora transformamos essa informação em uma prova que
. Pelo critério da razão (ou pelo argumento de comparação com uma progressão geométrica): dado que
existe um número
tal que
e existe
tal que, para todo
,
Isto decorre da definição de limite (para limites menores que
podemos escolher qualquer
entre o limite e
e obter a desigualdade a partir de certo índice).
Passo 6
Usando a desigualdade
para
obtemos, por iteração,
Em termos gerais, para todo
temos
Passo 7
Como
, a sequência geométrica
tende a
quando
. Assim o lado direito
tende a
. Pelo encadeamento de desigualdades, isto força
quando
. Ou seja,
Passo 8
Intuição extra (rápida e amigável): exponenciais como
crescem muito mais rápido que qualquer potência
. Por isso, para grandes
o denominador domina fortemente o numerador e o quociente vai a zero. Um exemplo mais simples:
também por mesma razão — a base
na exponencial vence o polinômio.
Resposta
A sequência converge e