Determine se a sequência converge ou diverge:
\left(\frac{n^{5}}{e^{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(\frac{n^{5}}{e^{n}}\right)_{n\in\mathbb{N}} e pede para determinarmos se ela converge ou diverge.
Informações dadas: para cada n\in\mathbb{N} o termo é \frac{n^{5}}{e^{n}}.
Pergunta clara: determinar o comportamento limite quando n\to\infty (ou seja, existir \lim_{n\to\infty}\frac{n^{5}}{e^{n}} e, se existir, qual é esse valor).

Passo 2

Escolhendo um método: uma ideia natural é comparar o crescimento polinomial n^{5} com o crescimento exponencial e^{n}. Um método simples e eficiente é estudar a razão entre termos consecutivos
\frac{a_{n+1}}{a_n}\quad\text{onde}\quad a_n=\frac{n^{5}}{e^{n}}.
Se a razão tende para um número menor que 1, isso indica que os termos decaem geometricamente e a sequência tende a 0. Vou usar esse método porque é direto, exige só manipulação algébrica e um pouco de limite, e dá uma prova rigorosa de que a sequência vai a zero.

Passo 3

Calculemos a razão entre termos consecutivos. Usamos a definição a_n=\dfrac{n^{5}}{e^{n}}. Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{5}}{e^{\,n+1}}}{\dfrac{n^{5}}{e^{n}}} = \frac{(n+1)^{5}}{n^{5}}\cdot\frac{e^{n}}{e^{n+1}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{5}\cdot\frac{1}{e}.

Passo 4

Vamos tomar o limite dessa razão quando n\to\infty. Sabemos que \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{5}=1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1\cdot\frac{1}{e} = \frac{1}{e}.
Como \dfrac{1}{e}<1 (lembre que e\approx 2{,}718), a razão limite é menor que 1.

Passo 5

Agora transformamos essa informação em uma prova que a_n\to 0. Pelo critério da razão (ou pelo argumento de comparação com uma progressão geométrica): dado que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{e}<1,
existe um número r tal que \dfrac{1}{e}<r<1 e existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\frac{a_{n+1}}{a_n}\le r.
Isto decorre da definição de limite (para limites menores que 1 podemos escolher qualquer r entre o limite e 1 e obter a desigualdade a partir de certo índice).

Passo 6

Usando a desigualdade \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le r para n\ge N obtemos, por iteração,
a_{N+1}\le r a_N,\qquad a_{N+2}\le r a_{N+1}\le r^2 a_N,\qquad\ldots,\qquad a_{N+k}\le r^{k} a_N.
Em termos gerais, para todo n\ge N temos
a_n \le a_N\, r^{\,n-N}.

Passo 7

Como 0<r<1, a sequência geométrica r^{\,n-N} tende a 0 quando n\to\infty. Assim o lado direito a_N\, r^{\,n-N} tende a 0. Pelo encadeamento de desigualdades, isto força a_n\to 0 quando n\to\infty. Ou seja,
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{5}}{e^{n}}=0.

Passo 8

Intuição extra (rápida e amigável): exponenciais como e^{n} crescem muito mais rápido que qualquer potência n^{k}. Por isso, para grandes n o denominador domina fortemente o numerador e o quociente vai a zero. Um exemplo mais simples: \dfrac{n^{2}}{2^{n}}\to 0 também por mesma razão — a base 2>1 na exponencial vence o polinômio.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{5}}{e^{n}}=0.

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