Determine se a sequência (an)n in N converge ou diverge.
(9 pts.) an=(1+4n)^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão pede para a gente determinar se a sequência $ a_{n} = \left(1+\frac{4}{n}\right)^{n} $ converge ou diverge. Isso está dentro do estudo de limites de sequências na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites quando $ n $ cresce sem parar (ou seja, vai para o infinito) e como aplicar algumas fórmulas que envolvem exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da sequência: $ \left(1+\frac{4}{n}\right)^{n} $. À medida que $ n $ aumenta, o termo $ \frac{4}{n} $ fica menor, indo para zero. Então, estamos olhando para algo do tipo $ \left(1 + algo que vai para 0\right)^{n} $.

Passo 3

Agora, sabemos de uma fórmula importante que diz:
limn to infty (1+kn)^n = e^k
Aqui, $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828, e $ k $ é uma constante. No nosso caso, $ k = 4 $. Isso quer dizer que quando temos uma expressão assim e $ n $ vai para o infinito, a sequência tende para $ e^k $.

Passo 4

Aplicando essa fórmula na nossa sequência:
limn to infty (1+4n)^n = e^4
Então, o limite da sequência é $ e^{4} $.

Resposta

A sequência $ a_{n} = \left(1+\frac{4}{n}\right)^{n} $ converge e tem limite igual a $ e^{4} $.

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