( 9 pts) Utilizando séries, expresse o número 2,3 7 como uma razão de inteiros

Passo 1

Beleza, temos que transformar o número decimal 2,37 em uma fração de inteiros usando séries. O que isso significa? Pois é, 2,37 representa 2.37777…, com o 7 se repetindo infinitamente. Para resolver, vamos usar conceitos de séries infinitas e algumas manipulações algébricas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a parte inteira e a parte decimal do número. Temos:
2,37 = 2 + 0,37
Agora, focaremos em converter 0,37 em uma fração.

Passo 3

Sabemos que 0,7 é igual a 79. Portanto:
0,37 = 0,3 + 0,7 times 0,1 = 0,3 + 79 times 110
Mas para simplificar, podemos representar 0,37 como uma série geométrica.

Passo 4

Expressando 0,37 como série:
0,37 = 0,3 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + dots
Isso é uma série geométrica onde o primeiro termo a = 0,3 e a razão r = 0,1.

Passo 5

A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 0,31 - 0,1 = 0,30,9 = 13

Passo 6

Agora, voltando ao número original:
2,37 = 2 + 13 = 63 + 13 = 73

Resposta

Portanto, o número 2,37 pode ser expresso como a fração 73.

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