Utilizando séries, expresse o número
como uma razão de inteiros
Passo 1
Beleza, temos que transformar o número decimal
em uma fração de inteiros usando séries. O que isso significa? Pois é,
representa 2.37777…, com o 7 se repetindo infinitamente. Para resolver, vamos usar conceitos de séries infinitas e algumas manipulações algébricas simples.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a parte inteira e a parte decimal do número. Temos:
Agora, focaremos em converter
em uma fração.
Passo 3
Sabemos que
é igual a
. Portanto:
Mas para simplificar, podemos representar
como uma série geométrica.
Passo 4
Expressando
como série:
Isso é uma série geométrica onde o primeiro termo
e a razão
.
Passo 5
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, voltando ao número original:
Resposta
Portanto, o número
pode ser expresso como a fração
.