Seja (an)n in N uma sequência tal que an+1=lambda an, onde |lambda|<1.
(9 pts) (an)n in N é limitada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma sequência (an)n in N definida por an+1 = lambda an, onde |lambda| < 1. O assunto aqui é sobre sequências limitadas, e para resolver isso, vamos precisar entender como essa regra de recorrência influencia os termos da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar uma expressão geral para an. Sabemos que cada termo é lambda vezes o termo anterior. Então, se começarmos com a0, temos:
a1 = lambda a0
a2 = lambda a1 = lambda (lambda a0) = lambda^2 a0
a3 = lambda a2 = lambda (lambda^2 a0) = lambda^3 a0
E assim por diante. Observamos um padrão aqui.

Passo 3

Parece que a expressão geral para qualquer termo an é:
an = lambda^n a0
Isso significa que cada termo é lambda elevado à potência n multiplicado pelo termo inicial a0.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de an à medida que n cresce. Sabemos que |lambda| < 1, então |lambda|^n tende a zero quando n aumenta. Portanto, |an| = |lambda|^n |a0| também tende a zero.

Passo 5

Para determinar se a sequência é limitada, precisamos verificar se existe um número real M tal que |an| <= M para todo n. Observando |an| = |lambda|^n |a0|, percebemos que |lambda|^n <= 1 porque |lambda| < 1 e n >= 0.

Passo 6

Portanto, podemos escolher M = |a0|. Assim, para todo n:
|an| = |lambda|^n |a0| <= |a0| = M
Isso mostra que a sequência está limitada por M.

Resposta

Sim, a sequência (an)n in N é limitada, pois existe um número M = |a0| que satisfaz |an| <= M para todo n.

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