Seja
uma sequência tal que
, onde
.
é limitada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma sequência
definida por
, onde
. O assunto aqui é sobre sequências limitadas, e para resolver isso, vamos precisar entender como essa regra de recorrência influencia os termos da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar uma expressão geral para
. Sabemos que cada termo é
vezes o termo anterior. Então, se começarmos com
, temos:
E assim por diante. Observamos um padrão aqui.
Passo 3
Parece que a expressão geral para qualquer termo
é:
Isso significa que cada termo é
elevado à potência
multiplicado pelo termo inicial
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
à medida que
cresce. Sabemos que
, então
tende a zero quando
aumenta. Portanto,
também tende a zero.
Passo 5
Para determinar se a sequência é limitada, precisamos verificar se existe um número real
tal que
para todo
. Observando
, percebemos que
porque
e
.
Passo 6
Portanto, podemos escolher
. Assim, para todo
:
Isso mostra que a sequência está limitada por
.
Resposta
Sim, a sequência
é limitada, pois existe um número
que satisfaz
para todo
.