Determine se a sequência
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para descobrir se a sequência $ a_{n} = \left(\frac{n}{2n^{2}+1}\right) \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) $ converge ou diverge. Aqui, estamos trabalhando com sequências e limites, que são conceitos importantes em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como comportam-se os termos da sequência quando $ n $ fica bem grande (tende ao infinito) e usar algumas propriedades do seno e de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da nossa sequência separadamente. Observamos que a sequência é o produto de duas partes:
- $ \frac{n}{2n^{2}+1} $
- $ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) $
Vamos estudar o comportamento de cada uma quando $ n $ cresce muito.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte: $ \frac{n}{2n^{2}+1} $.
Quando $ n $ cresce, os termos com maior potência dominam. Então, $ 2n^{2} $ vai ser muito maior que 1, e podemos simplificar essa fração:
Ou seja, conforme $ n $ tende ao infinito, $ \frac{n}{2n^{2}+1} $ se comporta como $ \frac{1}{2n} $.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a segunda parte: $ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) $.
Sabemos que, para valores muito pequenos de $ x $, o seno pode ser aproximado por $ \sin(x) \approx x $. Como $ \frac{\pi}{n} $ tende a 0 quando $ n $ tende ao infinito, podemos usar essa aproximação:
Passo 5
Agora, vamos juntar as duas partes que simplificamos:
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito:
Resposta
A sequência $ \left(a_{n}\right) $ converge para 0.