Seja (an)n in N uma sequência tal que an+1=lambda an, onde |lambda|<1.
(9 pts) (an)n in N é convergente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema sobre sequências! A gente tem uma sequência (an) definida pela regra an+1 = lambda an, onde o valor absoluto de lambda é menor que 1 ( |lambda| < 1). O que queremos saber é se essa sequência é convergente, ou seja, se ela tem um limite quando n tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de progressões geométricas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a sequência dada é uma progressão geométrica. Em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão, que nesse caso é lambda. Então, podemos escrever os termos da sequência assim:
a1 = a1 a2 = lambda a1 a3 = lambda a2 = lambda^2 a1 vdots an = lambda^n-1 a1
Isso nos mostra que o enésimo termo da sequência pode ser expresso como an = lambda^n-1 a1.

Passo 3

Agora, para determinar se a sequência (an) é convergente, precisamos analisar o limite de an quando n tende ao infinito. Ou seja, queremos calcular:
limn to infty an = limn to infty lambda^n-1 a1
Sabemos que se |lambda| < 1, então lambda^n-1 tende a zero conforme n aumenta. Isso ocorre porque multiplicar um número menor que 1 por ele mesmo muitas vezes o aproxima de zero.

Passo 4

Aplicando esse entendimento ao nosso limite:
limn to infty lambda^n-1 a1 = a1 times limn to infty lambda^n-1 = a1 times 0 = 0
Portanto, o limite da sequência (an) quando n tende ao infinito é 0.

Resposta

Sim, a sequência (an)n in N é convergente e seu limite é 0.

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