Seja
uma sequência tal que
, onde
.
é convergente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema sobre sequências! A gente tem uma sequência
definida pela regra
, onde o valor absoluto de
é menor que 1 (
). O que queremos saber é se essa sequência é convergente, ou seja, se ela tem um limite quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de progressões geométricas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a sequência dada é uma progressão geométrica. Em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão, que nesse caso é
. Então, podemos escrever os termos da sequência assim:
Isso nos mostra que o enésimo termo da sequência pode ser expresso como
.
Passo 3
Agora, para determinar se a sequência
é convergente, precisamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Ou seja, queremos calcular:
Sabemos que se
, então
tende a zero conforme
aumenta. Isso ocorre porque multiplicar um número menor que 1 por ele mesmo muitas vezes o aproxima de zero.
Passo 4
Aplicando esse entendimento ao nosso limite:
Portanto, o limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0.
Resposta
Sim, a sequência
é convergente e seu limite é 0.