Exercício 3. Determine o vetor w in R^3 tal que w seja ortogonal ao eixo y e u=w times v, onde u=(1,1,-1) e v=(2,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um vetor winR^3 que satisfaça duas condições:
  1. w é ortogonal ao eixo y.
  2. u = w times v, onde
u = (1,1,-1), v = (2,-1,1)
Para resolver, vamos usar o conceito de produto vetorial em coordenadas e a condição de ortogonalidade.

Passo 2

Escrevemos w em coordenadas genéricas e impomos ortogonalidade ao eixo y. Seja
w = (a,b,c)
Como o eixo y é a direção (0,1,0), a ortogonalidade exige
w cdot (0,1,0) = 0 Longrightarrow b = 0
Logo podemos restringir
w = (a,0,c)

Passo 3

Agora usamos a definição de produto vetorial em coordenadas: se w=(a,0,c) e v=(2,-1,1), então
w times v = l(w2,v3 - w3,v2,; w3,v1 - w1,v3,; w1,v2 - w2,v1r)
Substituindo w1=a, w2=0, w3=c e v:
w times v = l(0cdot1 - ccdot(-1),; ccdot2 - acdot1,; acdot(-1) - 0cdot2r) = (c,;2c - a,;-a)

Passo 4

Como queremos
Da primeira vem .
Verificando a segunda: , ok.

Resposta

w = (1,,0,,1)

Exercícios relacionados