Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
m) {3^(n+2) / 5^n}_{n=1}^{∞}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também tem que achar o limite. Vamos usar conceitos de sequências e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Sabemos que pode ser reescrito como , que é . Então, a sequência fica:

Passo 3

Agora, observamos que a sequência está na forma . Sabemos que, quando a razão de uma sequência geométrica satisfaz , a sequência converge para zero à medida que cresce.

Passo 4

Vamos verificar a razão . Como e , isso significa que a sequência vai diminuir e se aproximar de zero conforme aumenta.

Passo 5

Multiplicando por 9, a sequência completa também vai convergir para zero, já que o fator constante não impede que o termo principal se aproxime de zero.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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