Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então, calcule a área da região.
a) y = e^x, y = x^2 - 1, x = -1, x = 1
b) y = sen(x), y = x, x = pi / 2, x = pi
c) y = x, y = x^2
d) y = raiz(1 - x), y^2 = x + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte c) do exercício. Aqui, temos duas curvas: e . O objetivo é esboçar a região delimitada por essas curvas, decidir se vamos integrar em relação a ou e, por fim, calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre integração e área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as curvas para entender como elas se comportam. A curva é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. Já é uma parábola que também passa pela origem, mas se abre para cima.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites da nossa integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, ou . Os pontos de interseção são e .

Passo 4

Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar que a região delimitada fica entre e . Agora, vamos decidir sobre qual variável integrar. Como estamos lidando com funções de , e as curvas são facilmente expressas em termos de , vamos integrar em relação a .

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula:
Á
Onde é a função de cima e a de baixo no intervalo de a .

Passo 6

Identificamos que, entre e , a reta está acima da parábola . Então, e .

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Á
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 8

Integral de em relação a é:
Integral de em relação a é:

Passo 9

Subtraindo as integrais:

Passo 10

Agora, avaliamos nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 11

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e entre e é unidades de área.

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