Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Então, calcule a área da região.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte c) do exercício. Aqui, temos duas curvas:
e
. O objetivo é esboçar a região delimitada por essas curvas, decidir se vamos integrar em relação a
ou
e, por fim, calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre integração e área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as curvas para entender como elas se comportam. A curva
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. Já
é uma parábola que também passa pela origem, mas se abre para cima.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites da nossa integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então,
ou
. Os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar que a região delimitada fica entre
e
. Agora, vamos decidir sobre qual variável integrar. Como estamos lidando com funções de
, e as curvas são facilmente expressas em termos de
, vamos integrar em relação a
.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula:
Onde
é a função de cima e
a de baixo no intervalo de
a
.
Passo 6
Identificamos que, entre
e
, a reta
está acima da parábola
. Então,
e
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 8
Integral de
em relação a
é:
Integral de
em relação a
é:
Passo 9
Subtraindo as integrais:
Passo 10
Agora, avaliamos nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
entre
e
é
unidades de área.