Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, vamos achar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especialmente aqueles relacionados à definição do número de Euler,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a definição de
envolve o limite
. Nosso desafio aqui é parecido, mas com uma pequena diferença no denominador. Vamos tentar manipular a nossa sequência para se parecer mais com essa definição.
Passo 3
Observamos que
pode ser reescrita como
. Isso porque
, e aqui
e
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Isso se assemelha exatamente à definição de
:
Portanto, substituindo de volta na nossa expressão original:
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.