Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
(1 + 1/(3n))^n, n=1 até infinito

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência (1 + 1/(3n))^n, n=1 até infinito converge ou diverge. Se ela convergir, vamos achar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especialmente aqueles relacionados à definição do número de Euler, e.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a definição de e envolve o limite . Nosso desafio aqui é parecido, mas com uma pequena diferença no denominador. Vamos tentar manipular a nossa sequência para se parecer mais com essa definição.

Passo 3

Observamos que pode ser reescrita como . Isso porque , e aqui e . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de quando n tende ao infinito. Isso se assemelha exatamente à definição de e:
Portanto, substituindo de volta na nossa expressão original:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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