Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre seu limite.
(1+3 / n)^4 n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência an=(1+3/n)^4n, que é uma sequência de termos reais envolvendo uma expressão do tipo (1+xn)^n. Vamos usar conhecimento de limites e da definição do número e.

Passo 2

Primeiro, observe que podemos reescrever an como uma potência de um termo que lembra a forma padrão de definição de e. De fato, temos:
an = (1+3/n)^4n = l((1+3/n)^nr)^4

Passo 3

A teoria nos diz que (1+3/n)^n converge para e^3 quando ntoinfty. Essa é uma consequência direta da definição do número e, que estabelece limntoinfty(1+x/n)^n = e^x.
Como a função “elevar à quarta potência” é contínua, podemos passar o limite para dentro dessa operação. Logo,
limntoinftyan = limntoinftyl((1+3/n)^nr)^4 = l(limntoinfty(1+3/n)^nr)^4 = (e^3)^4 = e^12

Passo 4

Portanto, a sequência an converge e seu limite é e^12.

Resposta

A sequência é convergente e limntoinfty(1+3/n)^4n = e^12.

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