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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon C subset R^2, curva polar dada pela equação
r=1+2 cos (theta)
Calcule a inclinação da reta tangente a C quando theta=pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre uma curva chamada limaçon, que está definida em coordenadas polares pela equação . Nosso objetivo é encontrar a inclinação da reta tangente a essa curva quando o ângulo é igual a . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a inclinação da reta tangente em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a inclinação da reta tangente pode ser encontrada usando a fórmula:
dydx = drdtheta sin(theta) + r cos(theta) drdtheta cos(theta) - r sin(theta)
Aqui, é a função que define a curva em termos de , e é a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Vamos então calcular drdtheta = -2 sin(theta) . A nossa função é . Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos dydx = (-2 sin(theta)) sin(theta) + (1 + 2 cos(theta)) cos(theta) (-2 sin(theta)) cos(theta) - (1 + 2 cos(theta)) sin(theta) e na fórmula da inclinação:

Passo 5

Simplificamos o numerador e o denominador:
Numerador:
-2 sin^2(theta) + cos(theta) + 2 cos^2(theta)
Denominador:
-2 sin(theta) cos(theta) - sin(theta) - 2 cos(theta) sin(theta) = - sin(theta) - 4 sin(theta) cos(theta)

Passo 6

Agora, substituímos sin(pi2) = 1 e cos(pi2) = 0 nas expressões simplificadas.
Sabemos que:
-2 (1)^2 + 0 + 2 (0)^2 = -2
Substituindo no numerador:
-1 - 4 (1)(0) = -1
No denominador:

Passo 7

Finalmente, calculamos a inclinação da reta tangente:
dydx = -2-1 = 2

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva quando é igual a .

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