Nome Legível:
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon
, curva polar dada pela equação
Calcule a inclinação da reta tangente a
quando
.
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre uma curva chamada limaçon, que está definida em coordenadas polares pela equação
. Nosso objetivo é encontrar a inclinação da reta tangente a essa curva quando o ângulo
é igual a
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a inclinação da reta tangente em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a inclinação da reta tangente pode ser encontrada usando a fórmula:
Aqui,
é a função que define a curva em termos de
, e
é a derivada dessa função em relação a
.
Passo 3
Vamos então calcular
. A nossa função é
. Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da inclinação:
Passo 5
Simplificamos o numerador e o denominador:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Passo 6
Agora, substituímos
nas expressões simplificadas.
Sabemos que:
Sabemos que:
Substituindo no numerador:
No denominador:
Passo 7
Finalmente, calculamos a inclinação da reta tangente:
Resposta
A inclinação da reta tangente à curva
quando
é igual a
.