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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=cos ^3(t), y=sen^3(t), 0 <= t <= 2 pi
Para que valores do parâmetro t a curva A sobe? Para que valores desce?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a astroide A, que é uma curva plana no plano R^2 parametrizada por:
x = cos^3(t), y = sin^3(t), 0 <= t <= 2pi
O objetivo é descobrir para quais valores de t a curva está subindo (ou seja, aumentando a coordenada y) e para quais ela está descendo (diminuindo a coordenada y). Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo diferencial, especificamente como derivar funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y em relação a t, que representa a velocidade vertical da curva. A função y é dada por y = sin^3(t).
Para derivar y em relação a t, usamos a regra do poder combinada com a regra da cadeia:
dydt = 3sin^2(t) cdot cos(t)
Então, temos:
dydt = 3sin^2(t)cos(t)

Passo 3

Agora, vamos analisar quando dydt é positiva ou negativa:
  • Subindo: Quando dydt > 0.
  • Descendo: Quando dydt < 0.
Vamos resolver essas desigualdades:
  1. dydt > 0:
    3sin^2(t)cos(t) > 0
    Como 3 e sin^2(t) são sempre não negativos (já que qualquer número ao quadrado é positivo), a desigualdade depende do sinal de cos(t).
    Portanto, cos(t) > 0.
  2. dydt < 0:
    3sin^2(t)cos(t) < 0
    Novamente, 3sin^2(t) é não negativo, então a desigualdade depende do sinal de cos(t).
    Portanto, cos(t) < 0.

Passo 4

Agora, vamos identificar os intervalos de t onde cos(t) é positivo e negativo no intervalo 0 <= t <= 2pi:
  • cos(t) > 0 ocorre nos intervalos:
    • - pi2 < t < pi2
    • $ \frac{3\pi}{2} < t < \frac{5\pi}{2}$
    Dentro do intervalo 3pi2 < t < 5pi2, isso se traduz em:
    • 0 <= t <= 2pi
    • 0 < t < pi2
  • 3pi2 < t < 2pi ocorre nos intervalos:
    • cos(t) < 0

Resposta

A curva A está subindo quando 0 < t < pi2 e 3pi2 < t < 2pi. Ela está descendo quando pi2 < t < 3pi2.

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