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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide
, curva plana parametrizada por
Para que valores do parâmetro
a curva
sobe? Para que valores desce?
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a astroide
, que é uma curva plana no plano
parametrizada por:
O objetivo é descobrir para quais valores de
a curva está subindo (ou seja, aumentando a coordenada
) e para quais ela está descendo (diminuindo a coordenada
). Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo diferencial, especificamente como derivar funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que representa a velocidade vertical da curva. A função
é dada por
.
Para derivar
em relação a
, usamos a regra do poder combinada com a regra da cadeia:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar quando
é positiva ou negativa:
- Subindo: Quando
. - Descendo: Quando
.
Vamos resolver essas desigualdades:
-
: Comoe são sempre não negativos (já que qualquer número ao quadrado é positivo), a desigualdade depende do sinal de . Portanto,. -
: Novamente,é não negativo, então a desigualdade depende do sinal de . Portanto,.
Passo 4
Agora, vamos identificar os intervalos de
onde
é positivo e negativo no intervalo
:
-
ocorre nos intervalos: -
- $ \frac{3\pi}{2} < t < \frac{5\pi}{2}$
Dentro do intervalo, isso se traduz em: -
-
ocorre nos intervalos: -
Resposta
A curva
está subindo quando
e
. Ela está descendo quando
.