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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon C subset R^2, curva polar dada pela equação
r=1+2 cos (theta)
Determine a equação paramétricas de C, ou seja, escreva x=f(t) e y=g(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma curva chamada limaçon, que está descrita na forma polar pela equação . Para isso, vamos usar a matéria de conversão entre coordenadas polares e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, lembra como funciona a conversão entre coordenadas polares x = r cos(theta) e cartesianas y = r sin(theta) ? As fórmulas são:
Essas fórmulas vão nos ajudar a passar da equação polar para as paramétricas.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão do x = (1 + 2 cos(theta)) cos(theta) que a gente tem na equação polar y = (1 + 2 cos(theta)) sin(theta) nas fórmulas de conversão. Ficou assim:

Passo 4

Vamos simplificar um pouco essas expressões. Distribuindo os termos, temos:
x = cos(theta) + 2 cos^2(theta)
y = sin(theta) + 2 cos(theta) sin(theta)
Agora, essas são as equações paramétricas que a gente estava procurando.

Resposta

As equações paramétricas da curva x(theta) = (1 + 2 cos(theta)) cos(theta) são:
y(theta) = (1 + 2 cos(theta)) sin(theta)

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