Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre seu limite.
an=2+n^31+2 n^3

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
an = 2 + n^31 + 2n^3
e pede para verificar se ela é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, determinar seu limite. Vamos usar o conceito de limite de sequência, especialmente para razões de polinômios de mesmo grau.

Passo 2

Quando temos polinômios no numerador e denominador de mesmo grau, os termos de maior grau dominam o comportamento da sequência quando n to infty. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são de grau 3, então o limite deverá ser a razão dos coeficientes de n^3.

Passo 3

Para tornar isso explícito, fatoramos n^3 no numerador e no denominador:
an = n^3l(1 + tfrac2n^3r)n^3l(2 + tfrac1n^3r) = 1 + tfrac2n^32 + tfrac1n^3

Passo 4

Agora, basta calcular o limite dessa expressão quando n to infty. Como
2n^3 to 0, 1n^3 to 0,
segue-se que
1 + tfrac2n^32 + tfrac1n^3 to 1 + 02 + 0 = 12

Resposta

A sequência é convergente e limn to infty an = 12.

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