Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre seu limite.
Passo 1
O enunciado apresenta a sequência
e pede para verificar se ela é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, determinar seu limite. Vamos usar o conceito de limite de sequência, especialmente para razões de polinômios de mesmo grau.
Passo 2
Quando temos polinômios no numerador e denominador de mesmo grau, os termos de maior grau dominam o comportamento da sequência quando
. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são de grau 3, então o limite deverá ser a razão dos coeficientes de
.
Passo 3
Para tornar isso explícito, fatoramos
no numerador e no denominador:
Passo 4
Agora, basta calcular o limite dessa expressão quando
. Como
segue-se que
Resposta
A sequência é convergente e
.