Nome Legível:
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide
, curva plana parametrizada por
Obtenha a equação cartesiana de
(nas coordenadas
e
).
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva chamada astroide, definida pelas equações paramétricas
e
, onde
varia de 0 a
. O objetivo aqui é transformar essas equações em uma equação cartesiana que relaciona diretamente
e
, sem o parâmetro
. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades trigonométricas e manipular as equações para eliminar o
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as funções trigonométricas básicas, seno e cosseno, têm uma identidade fundamental:
. Vamos ver como podemos usar isso para relacionar
e
.
Passo 3
Sabemos que
. Podemos reescrever isso como
. Da mesma forma,
nos dá
.
Passo 4
Agora, vamos elevar ao quadrado ambas as expressões para usar a identidade trigonométrica mencionada:
Passo 5
Somando essas duas equações, de acordo com a identidade
, temos:
Resposta
A equação cartesiana da astroide
é
.