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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=cos ^3(t), y=sen^3(t), 0 <= t <= 2 pi
Obtenha a equação cartesiana de A (nas coordenadas x e y ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva chamada astroide, definida pelas equações paramétricas e , onde varia de 0 a . O objetivo aqui é transformar essas equações em uma equação cartesiana que relaciona diretamente e , sem o parâmetro . Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades trigonométricas e manipular as equações para eliminar o .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as funções trigonométricas básicas, seno e cosseno, têm uma identidade fundamental: . Vamos ver como podemos usar isso para relacionar e .

Passo 3

Sabemos que . Podemos reescrever isso como . Da mesma forma, nos dá .

Passo 4

Agora, vamos elevar ao quadrado ambas as expressões para usar a identidade trigonométrica mencionada:
cos^2(t) = ( x^1/3 )^2 = x^2/3
sin^2(t) = ( y^1/3 )^2 = y^2/3

Passo 5

Somando essas duas equações, de acordo com a identidade x^2/3 + y^2/3 = 1 , temos:

Resposta

A equação cartesiana da astroide é .

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