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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide
, curva plana parametrizada por
Para que valores do parâmetro
a curva
tem concavidade para cima? Para que valores tem concavidade para baixo?
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A gente tem uma curva chamada astroide que está definida pelas equações paramétricas:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima e para quais ela é côncava para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para analisar a concavidade da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para curvas paramétricas, a concavidade está relacionada à segunda derivada de y em relação a x, que é denotada por
. Se essa segunda derivada for positiva, a curva é côncava para cima; se for negativa, é côncava para baixo.
Então, nosso primeiro passo é calcular a primeira derivada
, que é dada por:
Vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada
:
Passo 5
Para encontrar a segunda derivada
, precisamos derivar
em relação a
e dividir por
:
Já sabemos que
. Então:
Agora, temos:
Lembrando que
, então:
Passo 6
Agora, vamos analisar o sinal de
:
- Côncava para cima quando
. - Côncava para baixo quando
.
Observando a expressão:
O denominador
é sempre positivo, já que
nunca é negativo. Portanto, o sinal da segunda derivada depende apenas de
:
- Quando
, → Côncava para cima. - Quando
, → Côncava para baixo.
Resposta
A curva
é côncava para cima quando
, ou seja, para valores de
em:
E é côncava para baixo quando
, ou seja, para valores de
em: