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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=cos ^3(t), y=sen^3(t), 0 <= t <= 2 pi
Para que valores do parâmetro t a curva A tem concavidade para cima? Para que valores tem concavidade para baixo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A gente tem uma curva chamada astroide que está definida pelas equações paramétricas:
x = cos^3(t), y = sin^3(t), 0 <= t <= 2pi
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima e para quais ela é côncava para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para analisar a concavidade da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para curvas paramétricas, a concavidade está relacionada à segunda derivada de y em relação a x, que é denotada por dydx = dydtdxdt . Se essa segunda derivada for positiva, a curva é côncava para cima; se for negativa, é côncava para baixo.
Então, nosso primeiro passo é calcular a primeira derivada , que é dada por:
Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando x = cos^3(t) dxdt = 3cos^2(t)(- sin(t)) = -3cos^2(t)sin(t) :
y = sin^3(t) dydt = 3sin^2(t)cos(t)
Agora, calculando :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada dydx = dydtdxdt = 3sin^2(t)cos(t)-3cos^2(t)sin(t) = -sin(t)cos(t) = -tan(t) :

Passo 5

Para encontrar a segunda derivada d^2ydx^2 = ddt(dydx) cdot 1dxdt , precisamos derivar ddt(-tan(t)) = -sec^2(t) em relação a d^2ydx^2 = -sec^2(t)-3cos^2(t)sin(t) = sec^2(t)3cos^2(t)sin(t) e dividir por d^2ydx^2 = 1cos^2(t)3cos^2(t)sin(t) = 13cos^4(t)sin(t) :
Já sabemos que . Então:
Agora, temos:
Lembrando que , então:

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal de 13cos^4(t)sin(t) :
  • Côncava para cima quando .
  • Côncava para baixo quando .
Observando a expressão:
O denominador é sempre positivo, já que nunca é negativo. Portanto, o sinal da segunda derivada depende apenas de :
  • Quando , Côncava para cima.
  • Quando , Côncava para baixo.

Resposta

A curva 0 < t < pi é côncava para cima quando pi < t < 2pi , ou seja, para valores de em:
E é côncava para baixo quando , ou seja, para valores de em:

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