Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-5)^2 nn^2 9^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty (-5)^2nn^29^n converge ou diverge. O conteúdo principal é séries numéricas e vamos precisar do teste da razão (critério de D’Alembert) e da condição necessária de convergência (termo geral deve tender a zero).

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral usando (-5)^2n = 25^n. Assim definimos
an = (-5)^2nn^29^n = 25^nn^29^n = l(25/9r)^nn^2

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão. Calculamos
L = limntoinfty | an+1an | = limntoinfty l(25/9r)^n+1/(n+1)^2l(25/9r)^n/n^2 = 259 limntoinfty l(nn+1r)^2 = 259 > 1
Pelo teste da razão, se L>1 a série diverge.

Passo 4

Como L>1, a série não satisfaz a condição de convergência do teste da razão e seu termo geral também não tende a zero. Logo concluímos que a série é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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