Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre seu limite.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a sequência
e queremos saber se ela converge quando
e, em caso afirmativo, calcular o limite. O conteúdo aqui é limite de sequência, usando comparação de taxas de crescimento ou regra de l’Hôpital.
Passo 2
Para lidar com um termo que envolve logaritmo e raiz, estendemos a sequência a uma função contínua
e estudamos
. Observamos que, quando
, tanto o numerador
quanto o denominador
tendem a
, gerando a forma indeterminada
.
Passo 3
Como encontramos uma indeterminação
, podemos aplicar a regra de l’Hôpital. Precisamos das derivadas: a de
é
e a de
é
.
Passo 4
Aplicando a regra de l’Hôpital, temos:
Passo 5
Como o limite da função contínua é zero, a sequência
também converge para zero.
Resposta
A sequência converge e seu limite é 0.