Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre seu limite.
an=ln nraizn

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a sequência an = ln nraizn e queremos saber se ela converge quando n to infty e, em caso afirmativo, calcular o limite. O conteúdo aqui é limite de sequência, usando comparação de taxas de crescimento ou regra de l’Hôpital.

Passo 2

Para lidar com um termo que envolve logaritmo e raiz, estendemos a sequência a uma função contínua f(x)=ln xraizx e estudamos limxtoinftyf(x). Observamos que, quando xtoinfty, tanto o numerador ln x quanto o denominador raizx tendem a infty, gerando a forma indeterminada inftyinfty.

Passo 3

Como encontramos uma indeterminação inftyinfty, podemos aplicar a regra de l’Hôpital. Precisamos das derivadas: a de ln x é 1x e a de raizx=x^1/2 é 12raizx.

Passo 4

Aplicando a regra de l’Hôpital, temos:
limxtoinftyln xraizx = limxtoinftyddx(ln x)ddx(raizx) = limxtoinfty1/x1/(2raizx) = limxtoinfty2raizxx = 2limxtoinfty1raizx = 0

Passo 5

Como o limite da função contínua é zero, a sequência an também converge para zero.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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